This work seeks to develop (lower) performance bounds for a traffic scheduling problem that arises in many application contexts, ranging from industrial material handling and robotics to computer game animations and quantum computing. In a first approach, the sought bounds are obtained by applying the Lagrangian relaxation method to a MIP formulation of the considered scheduling problem that is based on a natural notion of “state” for the underlying traffic system and an analytical characterization of all the possible trajectories of this state over a predefined time horizon. But it is also shown that the corresponding “dual” problem that provides these bounds, can be transformed to a linear program (LP) with numbers of variables and constraints polynomially related to the size of the underlying traffic system and the employed time horizon in the MIP formulation. Furthermore, the derived LP formulation constitutes the LP relaxation of a second MIP formulation for the considered scheduling problem that can be obtained through an existing connection between this problem and the “integral multi-commodity flow” (IMCF) model of network optimization theory. Finally, the theoretical developments of the paper are complemented with a computational part that demonstrates the efficacy of the pursued methods in terms of the quality of the derived bounds, and their computational tractability.

中文翻译：

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一类交通调度问题的性能边界的有效生成

这项工作旨在为在许多应用环境中出现的交通调度问题开发（下）性能界限，从工业材料处理和机器人到计算机游戏动画和量子计算。在第一种方法中，通过将拉格朗日松弛方法应用于所考虑的调度问题的 MIP 公式来获得所寻求的边界，该公式基于底层交通系统的“状态”的自然概念和所有可能轨迹的分析表征在预定义的时间范围内的这种状态。但也表明提供这些边界的相应“对偶”问题，可以转换为线性程序 (LP)，其中变量和约束的数量与基础交通系统的大小和 MIP 公式中采用的时间范围呈多项式相关。此外，导出的 LP 公式构成了所考虑的调度问题的第二个 MIP 公式的 LP 松弛，可以通过该问题与网络优化理论的“整体多商品流”（IMCF）模型之间的现有联系获得。最后，论文的理论发展得到了计算部分的补充，该部分证明了所追求方法在派生边界的质量及其计算易处理性方面的有效性。导出的 LP 公式构成了所考虑的调度问题的第二个 MIP 公式的 LP 松弛，可以通过该问题与网络优化理论的“整体多商品流”（IMCF）模型之间的现有联系获得。最后，论文的理论发展得到了计算部分的补充，该部分证明了所追求方法在派生边界的质量及其计算易处理性方面的有效性。导出的 LP 公式构成了所考虑的调度问题的第二个 MIP 公式的 LP 松弛，可以通过该问题与网络优化理论的“整体多商品流”（IMCF）模型之间的现有联系获得。最后，论文的理论发展得到了计算部分的补充，该部分证明了所追求方法在派生边界的质量及其计算易处理性方面的有效性。