A positive integer n is called an r -full integer if for all primes $$p\mid n$$ p ∣ n we have $$p^r\mid n.$$ p r ∣ n . Let p be an odd prime. For $$\gcd (n,p)=1$$ gcd ( n , p ) = 1 , the smallest positive integer f such that $$n^f\equiv 1\pmod p$$ n f ≡ 1 ( mod p ) is called the exponent of n modulo p . If $$f=p-1$$ f = p - 1 then n is called a primitive root modulo p . Let $$T_r(n)$$ T r ( n ) be the characteristic function of the r -full primitive roots modulo p . In this paper we derive the asymptotic formula for the following sums $$\begin{aligned} \sum _{n\le x}T_2(n),\quad \sum _{n\le x}T_3(n), \end{aligned}$$ ∑ n ≤ x T 2 ( n ) , ∑ n ≤ x T 3 ( n ) , by using properties of character sums.

中文翻译：

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关于满平方和满立方原始根的分布

如果对于所有素数 $$p\mid n$$ p ∣ n 我们有 $$p^r\mid n.$$ pr ∣ n ，则正整数 n 被称为 r -全整数。令 p 为奇素数。对于 $$\gcd (n,p)=1$$ gcd ( n , p ) = 1 ，满足 $$n^f\equiv 1\pmod p$$ nf ≡ 1 ( mod p ) 的最小正整数 f称为 n 模 p 的指数。如果 $$f=p-1$$ f = p - 1 那么 n 被称为原始根模 p 。令 $$T_r(n)$$T r ( n ) 为 r -全原根模 p 的特征函数。在本文中，我们推导出以下和的渐近公式 $$\begin{aligned} \sum _{n\le x}T_2(n),\quad \sum _{n\le x}T_3(n), \ end{aligned}$$ ∑ n ≤ x T 2 ( n ) , ∑ n ≤ x T 3 ( n ) ，通过使用字符和的属性。