One introduces a new variational concept of solution for the stochastic differential equation \(dX+A(t)X\,dt+{\lambda }X\,dt=X\,dW, t\in (0,T)\); \(X(0)=x\) in a real Hilbert space where \(A(t)={\partial }{\varphi }(t), t\in (0,T)\), is a maximal monotone subpotential operator in H while W is a Wiener process in H on a probability space \(\{{\Omega },{\mathcal {F}},\mathbb {P}\}\). In this new context, the solution \(X=X(t,x)\) exists for each \(x\in H\), is unique, and depends continuously on x. This functional scheme applies to a general class of stochastic PDE so far not covered by the classical variational existence theory (Krylov and Rozovskii in J Sov Math 16:1233–1277, 1981; Liu and Röckner in Stochastic partial differential equations: an introduction, Springer, Berlin, 2015; Pardoux in Equations aux dérivées partielles stochastiques nonlinéaires monotones, Thèse, Orsay, 1972) and, in particular, to stochastic variational inequalities and parabolic stochastic equations with general monotone nonlinearities with low or superfast growth to \(+\infty \).

中文翻译：

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Hilbert空间中非线性随机微分方程的变分解

引入了一种新的变分概念，用于求解随机微分方程\（dX + A（t）X \，dt + {\ lambda} X \，dt = X \，dW，t \ in（0，T）\） ; 实希尔伯特空间中的\（X（0）= x \），其中\（A（t）= {\ partial} {\ varphi}（t），t \ in（0，T）\）是最大单调subpotential操作者在ħ而W¯¯是维纳过程中ħ上的概率空间\（\ {{\欧米茄}，{\ mathcal {F}}，\ mathbb {P} \} \） 。在此新上下文中，每个\（x \ in H \）中都存在一个解决方案\（X = X（t，x）\），它是唯一的，并且连续取决于x。此功能方案适用于到目前为止经典的变分存在理论尚未涵盖的一类随机PDE（Krylov和Rozovskii在J Sov Math 16：1233-1277，1981年； Liu和Röckner在随机偏微分方程中：引论，Springer） ，柏林，2015年； Pardoux in auxdérivéespartielles stochastiquesnonlinéairesmonotones，Thèse，Orsay，1972年），尤其是随机变分不等式和抛物型随机方程，具有一般单调非线性，且增长缓慢或超快到\（+ \ infty \ ）。