Let $$(G,+)$$ ( G , + ) be a commutative semigroup, $$\tau $$ τ be an endomorphism of G and involution, D be a nonempty subset of G , and $$(H,+)$$ ( H , + ) be an abelian group, uniquely divisible by 2. Motivated by the extension problem of J. Aczél and the stability problem of S.M. Ulam, we show that if the set D is “sufficiently large”, then each function $$g{:} D\rightarrow H$$ g : D → H such that $$g(x+y)+g(x+\tau (y))=2g(x)+2g(y)$$ g ( x + y ) + g ( x + τ ( y ) ) = 2 g ( x ) + 2 g ( y ) for $$x,y\in D$$ x , y ∈ D with $$x+y,x+\tau (y)\in D$$ x + y , x + τ ( y ) ∈ D can be extended to a unique solution $$f{:} G\rightarrow H$$ f : G → H of the functional equation $$f(x+y)+f(x+\tau (y))=2f(x)+2f(y)$$ f ( x + y ) + f ( x + τ ( y ) ) = 2 f ( x ) + 2 f ( y ) .

中文翻译：

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关于广义二次函数从半群的“大”子集的扩展

令 $$(G,+)$$ ( G , + ) 是交换半群， $$\tau $$ τ 是 G 和对合的自同态， D 是 G 的非空子集，$$(H,+ )$$ ( H , + ) 是一个阿贝尔群，唯一可被 2 整除。 受 J. Aczél 的扩展问题和 SM Ulam 的稳定性问题的启发，我们证明如果集合 D“足够大”，那么每个函数 $$g{:} D\rightarrow H$$ g : D → H 使得 $$g(x+y)+g(x+\tau (y))=2g(x)+2g(y)$$ g ( x + y ) + g ( x + τ ( y ) ) = 2 g ( x ) + 2 g ( y ) for $$x,y\in D$$ x , y ∈ D with $$x+y ,x+\tau (y)\in D$$ x + y , x + τ ( y ) ∈ D 可以推广到唯一解 $$f{:} G\rightarrow H$$ f : G → H函数方程 $$f(x+y)+f(x+\tau (y))=2f(x)+2f(y)$$ f ( x + y ) + f ( x + τ ( y ) ) = 2 f ( x ) + 2 f ( y ) 。