Measuring the correlation between two random variables is an important goal in various statistical applications. The standardized covariance is a widely used criterion for measuring the linear association. In this paper, first, we propose a covariance-based unified measure of variability for a continuous random variable X and show that several measures of variability and uncertainty, such as variance, Gini mean difference and cumulative residual entropy arise as special cases. Then, we propose a unified measure of correlation between two continuous random variables X and Y , with distribution functions (DFs) F and G . Assuming that H is a continuous DF, the proposed measure is defined based on the covariance between X and the transformed random variable $$H^{-1}G(Y)$$ H - 1 G ( Y ) (known as the Q-transformation of H on G ). We show that our proposed measure of association subsumes some of the existing measures of correlation. Under some mild condition on H , it is shown that the suggested index ranges in $$[-1,1]$$ [ - 1 , 1 ] where the extremes of the range, i.e., $$-1$$ - 1 and 1, are attainable by the Fréchet bivariate minimal and maximal DFs, respectively. A special case of the proposed correlation measure leads to a variant of the Pearson correlation coefficient which has absolute values greater than or equal to Pearson correlation. The results are examined numerically for some well known bivariate DFs.

中文翻译：

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构建随机变量之间相关系数的统一方法

测量两个随机变量之间的相关性是各种统计应用中的一个重要目标。标准化协方差是衡量线性关联的广泛使用的标准。在本文中，首先，我们为连续随机变量 X 提出了一种基于协方差的统一可变性度量，并展示了几种可变性和不确定性的度量，例如方差、基尼均值差和累积残差熵作为特殊情况出现。然后，我们提出了两个连续随机变量 X 和 Y 之间相关性的统一度量，以及分布函数 (DF) F 和 G 。假设 H 是连续 DF，建议的度量是基于 X 和变换后的随机变量 $$H^{-1}G(Y)$$ H - 1 G ( Y )（称为 Q - G 上 H 的变换）。我们表明，我们提出的关联度量包含了一些现有的相关度量。在 H 的一些温和条件下，表明建议的指数范围在 $$[-1,1]$$ [ - 1 , 1 ] 范围内，即 $$-1$$ - 1 和1，分别可以通过 Fréchet 双变量最小和最大 DF 实现。所提出的相关性度量的一个特例导致 Pearson 相关系数的变体，其绝对值大于或等于 Pearson 相关性。对一些众所周知的双变量 DF 的结果进行了数值检验。分别可以通过 Fréchet 双变量最小和最大 DF 获得。所提出的相关性度量的一个特例导致 Pearson 相关系数的变体，其绝对值大于或等于 Pearson 相关性。对于一些众所周知的双变量 DF，对结果进行了数值检验。分别可以通过 Fréchet 双变量最小和最大 DF 获得。所提出的相关性度量的一个特例导致 Pearson 相关系数的变体，其绝对值大于或等于 Pearson 相关性。对于一些众所周知的双变量 DF，对结果进行了数值检验。