We consider the Siegel upper half space $$H_{2m}$$H2m of degree 2m and a subset $$H_m\times H_m$$Hm×Hm of $$H_{2m}$$H2m consisting of two $$m\times m$$m×m diagonal block matrices. We consider two actions of $$Sp(m,{\mathbb R})\times Sp(m,{\mathbb R}) \subset Sp(2m,{\mathbb R})$$Sp(m,R)×Sp(m,R)⊂Sp(2m,R), one is the action on holomorphic functions on $$H_{2m}$$H2m defined by the automorphy factor of weight k on $$H_{2m}$$H2m and the other is the action on vector valued holomorphic functions on $$H_m\times H_m$$Hm×Hm defined on each component by automorphy factors obtained by $$det^k \otimes \rho $$detk⊗ρ, where $$\rho $$ρ is a polynomial representation of $$GL(n,{\mathbb C})$$GL(n,C). We consider vector valued linear holomorphic differential operators with constant coefficients on holomorphic functions on $$H_{2m}$$H2m which give an equivariant map with respect to the above two actions under the restriction to $$H_m\times H_m$$Hm×Hm. In a previous paper, we have already shown that all such operators can be obtained either by a projection of the universal automorphic differential operator or alternatively by a vector of monomial basis corresponding to the partition $$2m=m+m$$2m=m+m. Here in this paper, based on a completely different idea, we give much simpler looking one-line formula for such operators. This is obtained independently from our previous results. The proofs also provide more algorithmic approach to our operators.

中文翻译：

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Siegel 模形式上自守微分算子的单行公式

我们考虑 2m 阶的 Siegel 上半空间 $$H_{2m}$$H2m 和 $$H_{2m}$$H2m 的子集 $$H_m\times H_m$$Hm×Hm 由两个 $$m\乘以 m$$m×m 个对角块矩阵。我们考虑两个动作 $$Sp(m,{\mathbb R})\times Sp(m,{\mathbb R}) \subset Sp(2m,{\mathbb R})$$Sp(m,R)× Sp(m,R)⊂Sp(2m,R), 一是对 $$H_{2m}$$H2m 上的全纯函数的作用，由权重 k 在 $$H_{2m}$$H2m 上的自同构因子定义，并且另一种是对向量值全纯函数在 $$H_m\times H_m$$Hm×Hm 上的作用，由 $$det^k \otimes \rho $$detk⊗ρ 获得的自同构因子定义在每个分量上，其中 $$\ rho $$ρ 是 $$GL(n,{\mathbb C})$$GL(n,C) 的多项式表示。我们考虑在 $$H_{2m}$$H2m 上的全纯函数上具有常数系数的向量值线性全纯微分算子，它给出了在 $$H_m\times H_m$$Hm× 限制下关于上述两个动作的等变映射嗯。在之前的一篇论文中，我们已经表明，所有这些算子都可以通过通用自守微分算子的投影获得，或者通过对应于分区 $$2m=m+m$$2m=m 的单项式向量获得+米。在本文中，基于完全不同的想法，我们为此类运算符提供了看起来更简单的单行公式。这是独立于我们之前的结果获得的。这些证明还为我们的运营商提供了更多的算法方法。在之前的一篇论文中，我们已经表明，所有这些算子都可以通过通用自守微分算子的投影获得，或者通过对应于分区 $$2m=m+m$$2m=m 的单项式向量获得+米。在本文中，基于完全不同的想法，我们为此类运算符提供了看起来更简单的单行公式。这是独立于我们之前的结果获得的。这些证明还为我们的运营商提供了更多的算法方法。在之前的一篇论文中，我们已经表明，所有这些算子都可以通过通用自守微分算子的投影获得，或者通过对应于分区 $$2m=m+m$$2m=m 的单项式向量获得+米。在本文中，基于完全不同的想法，我们为此类运算符提供了看起来更简单的单行公式。这是独立于我们之前的结果获得的。这些证明还为我们的运营商提供了更多的算法方法。我们为此类运算符提供了更简单的单行公式。这是独立于我们之前的结果获得的。这些证明还为我们的运营商提供了更多的算法方法。我们为此类运算符提供了更简单的单行公式。这是独立于我们之前的结果获得的。这些证明还为我们的运营商提供了更多的算法方法。