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Equivalence of $$L_p$$ L p diffusion approximation and a function’s diffusion smoothness
Semigroup Forum ( IF 0.7 ) Pub Date : 2019-05-28 , DOI: 10.1007/s00233-019-10030-3 Maxim J. Goldberg , Seonja Kim
Semigroup Forum ( IF 0.7 ) Pub Date : 2019-05-28 , DOI: 10.1007/s00233-019-10030-3 Maxim J. Goldberg , Seonja Kim
Let $$\left\{ A_t\right\} _{t\ge 0}$$Att≥0 be a symmetric diffusion semigroup on $$L_p(X)$$Lp(X), for X a complete positive $$\sigma $$σ-finite measure space. We establish an equivalence between the $$L_p$$Lp rate of approximation of $$A_t\phi $$Atϕ to $$\phi $$ϕ (as $$t\rightarrow 0^+$$t→0+) and a measure of the smoothness of $$\phi $$ϕ relative to the diffusion. The following is our main result: For $$10$$ϵp>0 independent of the semigroup so that for $$\phi \in L_p(X)$$ϕ∈Lp(X) and $$0<\alpha <\epsilon _p$$0<α<ϵp, and for constants depending only on $$\alpha $$α, p and $$\phi $$ϕ, $$\left\| \left( A_{t}-I\right) \phi \right\| _{L_p}\le ct^\alpha $$At-IϕLp≤ctα, $$0 < t\le 1$$0
中文翻译：
$$L_p$$ L p 扩散近似与函数扩散平滑度的等价
令 $$\left\{ A_t\right\} _{t\ge 0}$$Att≥0 是 $$L_p(X)$$Lp(X) 上的对称扩散半群，对于 X 是完全正的 $$ \sigma $$σ-有限测度空间。我们在 $$A_t\phi $$Atϕ 到 $$\phi $$ϕ（如 $$t\rightarrow 0^+$$t→0+）的 $$L_p$$Lp 近似率之间建立等价关系衡量 $$\phi $$ϕ 相对于扩散的平滑度。以下是我们的主要结果： 1 美元0$$ϵp>0 独立于半群，所以对于 $$\phi \in L_p(X)$$ϕ∈Lp(X) 和 $$0<\alpha <\epsilon _p$$0<α<ϵp，对于常数仅取决于 $$\alpha $$α, p 和 $$\phi $$ϕ, $$\left\| \left( A_{t}-I\right) \phi \right\| _{L_p}\le ct^\alpha $$At-IϕLp≤ctα, $$0 < t\le 1$$0
更新日期：2019-05-28
中文翻译：
$$L_p$$ L p 扩散近似与函数扩散平滑度的等价
令 $$\left\{ A_t\right\} _{t\ge 0}$$Att≥0 是 $$L_p(X)$$Lp(X) 上的对称扩散半群，对于 X 是完全正的 $$ \sigma $$σ-有限测度空间。我们在 $$A_t\phi $$Atϕ 到 $$\phi $$ϕ（如 $$t\rightarrow 0^+$$t→0+）的 $$L_p$$Lp 近似率之间建立等价关系衡量 $$\phi $$ϕ 相对于扩散的平滑度。以下是我们的主要结果： 1 美元
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