We investigate the complexity of hard (#P-complete) counting problems that have easy decision version. By ‘easy decision,’ we mean that deciding whether the result of counting is nonzero is in P. This property is shared by several well-known problems, such as counting the number of perfect matchings in a given graph or counting the number of satisfying assignments of a given DNF formula. We focus on classes of such hard-to-count easy-to-decide problems which emerged through two seemingly disparate approaches: one taken by Hemaspaandra et al. (SIAM J Comput 36(5):1264–1300, 2007), who defined classes of functions that count the size of intervals of ordered strings, and one followed by Kiayias et al. (Lect Notes Comput Sci 2563:453–463, 2001), who defined the classTotP, consisting of functions that count the total number of paths of NP computations. We provide inclusion and separation relations between TotP and interval size counting classes, by means of new classes that we define in this work. Our results imply that many known #P-complete problems with easy decision are contained in the classes defined by Hemaspaandra et al., but are unlikely to be complete for these classes under reductions under which these classes are downward closed, e.g., parsimonious reductions. This, applied to the #MONSAT problem, partially answers an open question of Hemaspaandra et al. We also define a new class of interval size functions which strictly contains FP and is strictly contained in TotP under reasonable complexity-theoretic assumptions. We show that this new class contains hard counting problems.

中文翻译：

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区间大小函数与路径计数的联系

我们调查了具有简单决策版本的困难（#P-complete）计数问题的复杂性。所谓“简单决策”，我们的意思是决定计数的结果是否为非零在 P 中。这个属性为几个众所周知的问题所共有，例如计算给定图中完美匹配的数量或计算满足的数量给定 DNF 公式的赋值。我们专注于通过两种看似不同的方法出现的难以计数且易于决定的问题的类别：一种由 Hemaspaandra 等人采用。(SIAM J Comput 36(5):1264–1300, 2007)，他定义了计算有序字符串间隔大小的函数类，Kiayias 等人随后定义了一类函数。(Lect Notes Comput Sci 2563:453–463, 2001)，他定义了 classTotP，由计算 NP 计算路径总数的函数组成。我们通过我们在这项工作中定义的新类来提供 TotP 和区间大小计数类之间的包含和分离关系。我们的结果意味着许多已知的#P-complete 问题易于决策包含在 Hemaspaandra 等人定义的类中，但在这些类向下封闭的归约下，例如简约归约，这些类不太可能是完整的。这适用于#MONSAT 问题，部分回答了 Hemaspaandra 等人的一个悬而未决的问题。我们还定义了一类新的区间大小函数，它严格包含 FP，并且在合理的复杂性理论假设下严格包含在 TotP 中。我们表明这个新类包含硬计数问题。通过我们在这项工作中定义的新类。我们的结果意味着许多已知的#P-complete 问题易于决策包含在 Hemaspaandra 等人定义的类中，但在这些类向下封闭的归约下，例如简约归约，这些类不太可能是完整的。这适用于#MONSAT 问题，部分回答了 Hemaspaandra 等人的一个悬而未决的问题。我们还定义了一类新的区间大小函数，它严格包含 FP，并且在合理的复杂性理论假设下严格包含在 TotP 中。我们表明这个新类包含硬计数问题。通过我们在这项工作中定义的新类。我们的结果意味着许多已知的#P-complete 问题易于决策包含在 Hemaspaandra 等人定义的类中，但在这些类向下封闭的归约下，例如简约归约，这些类不太可能是完整的。这适用于#MONSAT 问题，部分回答了 Hemaspaandra 等人的一个悬而未决的问题。我们还定义了一类新的区间大小函数，它严格包含 FP，并且在合理的复杂性理论假设下严格包含在 TotP 中。我们表明这个新类包含硬计数问题。但在这些类向下封闭的归约下，这些类不太可能是完整的，例如，简约归约。这适用于#MONSAT 问题，部分回答了 Hemaspaandra 等人的一个悬而未决的问题。我们还定义了一类新的区间大小函数，它严格包含 FP，并且在合理的复杂性理论假设下严格包含在 TotP 中。我们表明这个新类包含硬计数问题。但在这些类向下封闭的归约下，这些类不太可能是完整的，例如，简约归约。这适用于#MONSAT 问题，部分回答了 Hemaspaandra 等人的一个悬而未决的问题。我们还定义了一类新的区间大小函数，它严格包含 FP，并且在合理的复杂性理论假设下严格包含在 TotP 中。我们表明这个新类包含硬计数问题。