Let $N_a$ be the number of solutions to the equation $x^{2^k+1}+x+a=0$ in ${\mathbb{F}}_{2^n}$ where $\gcd (k,n)=1$. In 2004, by Bluher [2] it was known that possible values of $N_a$ are only 0, 1 and 3. In 2008, Helleseth and Kholosha [13] found criteria for $N_a=1$ and an explicit expression of the unique solution when $\gcd (k,n)=1$. In 2010 [14], the extended version of [13], they also got criteria for $N_a=0,3$. In 2014, Bracken, Tan and Tan [5] presented another criterion for $N_a=0$ when n is even and $\gcd (k,n)=1$.

This paper completely solves this equation $x^{2^k+1}+x+a=0$ with only the condition $\gcd (n,k)=1$. We explicitly calculate all possible zeros in ${\mathbb{F}}_{2^n}$ of $P_a(x)$. New criteria for which a, $N_a$ is equal to 0, 1 or 3 are by-products of our result.

让 ${ñ}_{\mathrm{一种}}$ 是方程的解数 $X^{2^{ķ}+\mathrm{1个}}+X+\mathrm{一种}=0$ 在 ${\mathbb{F}}_{2^{ñ}}$ 哪里 $\mathrm{光盘}（ķ，ñ）=\mathrm{1个}$。在2004年，Bluher [2]知道可能的值${ñ}_{\mathrm{一种}}$ 分别是0、1和3。2008年，Helleseth和Kholosha [13]发现了 ${ñ}_{\mathrm{一种}}=\mathrm{1个}$ 以及唯一解决方案的明确表达 $\mathrm{光盘}（ķ，ñ）=\mathrm{1个}$。在[13]的扩展版本[14] 2010年，他们还获得了${ñ}_{\mathrm{一种}}=0，3$。2014年，Bracken，Tan和Tan [5]提出了另一个${ñ}_{\mathrm{一种}}=0$当n为偶数且$\mathrm{光盘}（ķ，ñ）=\mathrm{1个}$。

本文完全解决了这个方程 $X^{2^{ķ}+\mathrm{1个}}+X+\mathrm{一种}=0$ 只有条件 $\mathrm{光盘}（ñ，ķ）=\mathrm{1个}$。我们显式计算的所有可能的零${\mathbb{F}}_{2^{ñ}}$ 的 $P_{\mathrm{一种}}（X）$。针对新标准的一个，${ñ}_{\mathrm{一种}}$ 等于0、1或3是我们的结果的副产品。