We prove an optimal Zsigmondy bound for elliptic divisibility sequences over function fields in case the $j$-invariant of the elliptic curve is constant. In more detail, given an elliptic curve $E$ with a point $P$ of infinite order, the sequence $D_1$, $D_2, \ldots$ of denominators of multiples $P$, $2P,\ldots$ of $P$ is a strong divisibility sequence in the sense that $\gcd(D_m, D_n) = D_{\gcd(m,n)}$. This is the genus-one analogue of the genus-zero Fibonacci, Lucas and Lehmer sequences. A number $N$ is called a Zsigmondy bound of the sequence if each term $D_{n}$ with $n>N$ presents a new prime factor. The optimal uniform Zsigmondy bound for the genus-zero sequences over $\mathbf{Q}$ is $30$ by Bilu-Hanrot-Voutier, 2000, but finding such a bound remains an open problem in genus one, both over $\mathbf{Q}$ and over function fields. We prove that the optimal Zsigmondy bound for ordinary elliptic divisibility sequences over function fields is $2$ if the $j$-invariant is constant. In the supersingular case, we give a complete classification of which terms can and cannot have a new prime factor.

中文翻译：

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具有常数 j 不变量的函数域上椭圆可分序列的原始因数

我们证明了函数域上椭圆可分序列的最优 Zsigmondy 界，以防椭圆曲线的 $j$-不变量是常数。更详细地，给定具有无限阶点 $P$ 的椭圆曲线 $E$，$P 的倍数分母 $P$、$2P、\ldots$ 的序列 $D_1$、$D_2、\ldots$在 $\gcd(D_m, D_n) = D_{\gcd(m,n)}$ 的意义上，$ 是一个强整除序列。这是 0 属 Fibonacci、Lucas 和 Lehmer 序列的属一类似物。如果 $n>N$ 的每一项 $D_{n}$ 都呈现一个新的质因数，则数字 $N$ 被称为序列的 Zsigmondy 界。2000 年 Bilu-Hanrot-Voutier 对 $\mathbf{Q}$ 上的属零序列的最优均匀 Zsigmondy 界是 $30$，但是在属 1 中找到这样的界仍然是一个悬而未决的问题，两者都在 $\mathbf{ Q}$ 和 over 函数字段。我们证明，如果 $j$-invariant 是常数，则函数域上普通椭圆可分序列的最佳 Zsigmondy 界是 $2$。在超奇异情况下，我们给出了一个完整的分类，哪些项可以有一个新的质因子，哪些不能有一个新的质因数。