In this work we revisit the Boolean Hidden Matching communication problem, which was the first communication problem in the one-way model to demonstrate an exponential classical-quantum communication separation. In this problem, Alice's bits are matched into pairs according to a partition that Bob holds. These pairs are compressed using a Parity function and it is promised that the final bit-string is equal either to another bit-string Bob holds, or its complement. The problem is to decide which case is the correct one. Here we generalize the Boolean Hidden Matching problem by replacing the parity function with an arbitrary function $f$. Efficient communication protocols are presented depending on the sign-degree of $f$. If its sign-degree is less than or equal to 1, we show an efficient classical protocol. If its sign-degree is less than or equal to $2$, we show an efficient quantum protocol. We then completely characterize the classical hardness of all symmetric functions $f$ of sign-degree greater than or equal to $2$, except for one family of specific cases. We also prove, via Fourier analysis, a classical lower bound for any function $f$ whose pure high degree is greater than or equal to $2$. Similarly, we prove, also via Fourier analysis, a quantum lower bound for any function $f$ whose pure high degree is greater than or equal to $3$. These results give a large family of new exponential classical-quantum communication separations.

中文翻译：

---

从布尔隐藏匹配问题的概括中减少指数量子通信

在这项工作中，我们重新审视了布尔隐藏匹配通信问题，这是单向模型中第一个证明指数经典量子通信分离的通信问题。在这个问题中，Alice 的比特根据 Bob 持有的分区匹配成对。这些对使用奇偶校验函数进行压缩，并保证最终位串等于 Bob 持有的另一个位串或其补码。问题是决定哪种情况是正确的。在这里，我们通过用任意函数 $f$ 替换奇偶校验函数来概括布尔隐藏匹配问题。有效的通信协议取决于 $f$ 的符号度数。如果它的符号度小于或等于 1，我们展示了一个有效的经典协议。如果它的符号度小于或等于 $2$，我们展示了一个有效的量子协议。然后我们完整地刻画了所有符号度大于或等于 $2$ 的对称函数 $f$ 的经典硬度，除了一类特定情况。我们还通过傅里叶分析证明了任何纯高度大于或等于 $2$ 的函数 $f$ 的经典下界。同样，我们也通过傅立叶分析证明了任何纯高阶数大于或等于 $3$ 的函数 $f$ 的量子下界。这些结果给出了一大类新的指数经典量子通信分离。除了一个家庭的特定案件。我们还通过傅里叶分析证明了任何纯高度大于或等于 $2$ 的函数 $f$ 的经典下界。同样，我们也通过傅立叶分析证明了任何纯高阶数大于或等于 $3$ 的函数 $f$ 的量子下界。这些结果给出了一大类新的指数经典量子通信分离。除了一个家庭的特定案件。我们还通过傅里叶分析证明了任何纯高度大于或等于 $2$ 的函数 $f$ 的经典下界。类似地，我们也通过傅立叶分析证明了任何纯高度大于或等于 $3$ 的函数 $f$ 的量子下界。这些结果给出了一大类新的指数经典量子通信分离。