Submodular functions are set functions mapping every subset of some ground set of size $n$ into the real numbers and satisfying the diminishing returns property. Submodular minimization is an important field in discrete optimization theory due to its relevance for various branches of mathematics, computer science and economics. The currently fastest strongly polynomial algorithm for exact minimization [LSW15] runs in time $\widetilde{O}(n^3 \cdot \mathrm{EO} + n^4)$ where $\mathrm{EO}$ denotes the cost to evaluate the function on any set. For functions with range $[-1,1]$, the best $\epsilon$-additive approximation algorithm [CLSW17] runs in time $\widetilde{O}(n^{5/3}/\epsilon^{2} \cdot \mathrm{EO})$. In this paper we present a classical and a quantum algorithm for approximate submodular minimization. Our classical result improves on the algorithm of [CLSW17] and runs in time $\widetilde{O}(n^{3/2}/\epsilon^2 \cdot \mathrm{EO})$. Our quantum algorithm is, up to our knowledge, the first attempt to use quantum computing for submodular optimization. The algorithm runs in time $\widetilde{O}(n^{5/4}/\epsilon^{5/2} \cdot \log(1/\epsilon) \cdot \mathrm{EO})$. The main ingredient of the quantum result is a new method for sampling with high probability $T$ independent elements from any discrete probability distribution of support size $n$ in time $O(\sqrt{Tn})$. Previous quantum algorithms for this problem were of complexity $O(T\sqrt{n})$.

中文翻译：

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近似子模函数最小化的量子和经典算法

子模函数是将某个大小为 $n$ 的基础集合的每个子集映射到实数并满足收益递减特性的集合函数。次模最小化是离散优化理论中的一个重要领域，因为它与数学、计算机科学和经济学的各个分支相关。目前最快的用于精确最小化的强多项式算法 [LSW15] 在时间上运行 $\widetilde{O}(n^3 \cdot \mathrm{EO} + n^4)$ 其中 $\mathrm{EO}$ 表示在任何集合上评估函数。对于范围为 $[-1,1]$ 的函数，最好的 $\epsilon$-additive 近似算法 [CLSW17] 及时运行 $\widetilde{O}(n^{5/3}/\epsilon^{2} \cdot \mathrm{EO})$。在本文中，我们提出了一种用于近似子模最小化的经典算法和量子算法。我们的经典结果改进了 [CLSW17] 的算法并及时运行 $\widetilde{O}(n^{3/2}/\epsilon^2 \cdot \mathrm{EO})$。据我们所知，我们的量子算法是首次尝试使用量子计算进行子模块优化。该算法按时间运行 $\widetilde{O}(n^{5/4}/\epsilon^{5/2} \cdot \log(1/\epsilon) \cdot \mathrm{EO})$。量子结果的主要成分是一种新方法，用于从时间 $O(\sqrt{Tn})$ 支持大小 $n$ 的任何离散概率分布中以高概率 $T$ 独立元素进行采样。以前用于此问题的量子算法的复杂度为 $O(T\sqrt{n})$。该算法按时间运行 $\widetilde{O}(n^{5/4}/\epsilon^{5/2} \cdot \log(1/\epsilon) \cdot \mathrm{EO})$。量子结果的主要成分是一种新方法，用于从时间 $O(\sqrt{Tn})$ 支持大小 $n$ 的任何离散概率分布中以高概率 $T$ 独立元素进行采样。以前用于此问题的量子算法的复杂度为 $O(T\sqrt{n})$。该算法按时间运行 $\widetilde{O}(n^{5/4}/\epsilon^{5/2} \cdot \log(1/\epsilon) \cdot \mathrm{EO})$。量子结果的主要成分是一种新方法，用于从时间 $O(\sqrt{Tn})$ 支持大小 $n$ 的任何离散概率分布中以高概率 $T$ 独立元素进行采样。以前用于此问题的量子算法的复杂度为 $O(T\sqrt{n})$。