Abstract Let K be an imaginary quadratic field whose discriminant is congruent to one modulo 8 and O be the ring of integers of K. Let Γ denote the group S L ( 2 , O ) which acts discontinuously on the upper half space H. In this paper, we study a homomorphism φ : Γ → Z obtained from a branch of the logarithm of a theta function on H which is automorphic with respect to Γ and does not vanish on H. In particular, we determine explicitly the decomposition φ = φ c + φ e of φ into the cusp part φ c and the Eisenstein part φ e , and prove a congruence conjectured by Sczech [14] between φ and φ e modulo 8 under an assumption on the 2-divisibility of a certain L-value.

中文翻译：

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上半空间上的 theta 函数的对数

摘要 设 K 为一个虚二次域，其判别式与模 8 全等，O 为 K 的整数环。令 Γ 表示不连续作用于上半空间 H 的群 SL ( 2 , O )。 ，我们研究同态 φ : Γ → Z 从 H 上的 theta 函数的对数分支获得，它是关于 Γ 自守的并且在 H 上不消失。特别是，我们明确地确定分解 φ = φ c +将 φ 的 φ e 分解为尖峰部分 φ c 和爱森斯坦部分 φ e ，并证明 Sczech [14] 在 φ 和 φ e 模 8 之间在某个 L 值的 2 可整性假设下的同余猜想。