In the present article, we extend previous results of the author and we show that when $K$ is any quadratic imaginary field of class number one, Fermat's equation $a^p+b^p+c^p=0$ does not have integral coprime solutions $a,b,c \in K \setminus \{ 0 \}$ such that $2 \mid abc$ and $p \geq 19$ is prime. The results are conjectural upon the veracity of a natural generalisation of Serre's modularity conjecture.

中文翻译：

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关于第一类二次虚域上的塞尔模猜想和费马方程

在本文中，我们扩展了作者之前的结果，我们证明当 $K$ 是第一类的任何二次虚场时，费马方程 $a^p+b^p+c^p=0$ 不具有积分互质解 $a,b,c \in K \setminus \{ 0 \}$ 使得 $2 \mid abc$ 和 $p \geq 19$ 是质数。结果是对 Serre 模数猜想的自然概括的真实性的推测。