Abstract We derive a formula expressing the joint distribution of the cyclic valley number and excedance number statistics over a fixed conjugacy class of the symmetric group in terms of Eulerian polynomials. Our proof uses a slight extension of Sun and Wang's cyclic valley-hopping action as well as a formula of Brenti. Along the way, we give a new proof for the γ-positivity of the excedance number distribution over any fixed conjugacy class along with a combinatorial interpretation of the γ-coefficients.

中文翻译：

---

关于 Sn 共轭类循环谷和超出的联合分布

摘要 我们推导出了一个公式，该公式用欧拉多项式表示对称群的固定共轭类上的循环谷数和超越数统计量的联合分布。我们的证明使用了 Sun 和 Wang 的循环跳谷动作的轻微扩​​展以及布伦蒂的公式。在此过程中，我们给出了任何固定共轭类上超越数分布的 γ 正性的新证明，以及对 γ 系数的组合解释。