We construct a new family of Cayley automatic representations of semidirect products $\mathbb{Z}^n \rtimes_A \mathbb{Z}$ for which none of the projections of the normal subgroup $\mathbb{Z}^n$ onto each of its cyclic components is finite automaton recognizable. For $n=2$ we describe a family of matrices from $\mathrm{GL}(2,\mathbb{Z})$ corresponding to these representations. We are motivated by a problem of characterization of all possible Cayley automatic representations of these groups.

中文翻译：

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基本群的非标准 Cayley 自动表示

我们构造了一个新的半直积 $\mathbb{Z}^n \rtimes_A \mathbb{Z}$ 的 Cayley 自动表示，其中没有正规子群 $\mathbb{Z}^n$ 到每个它的循环组件是有限自动机可识别的。对于 $n=2$，我们描述了 $\mathrm{GL}(2,\mathbb{Z})$ 中对应于这些表示的一系列矩阵。我们的动机是表征这些群体的所有可能的凯莱自动表示的问题。