We prove the NP-completeness of the following problem. Given a set $S$ of $n$ slopes and an integer $k\geq 1$, is it possible to draw a complete graph on $k$ vertices in the plane using only slopes from $S$? Equivalently, does there exist a set $K$ of $k$ points in general position such that the slope of every segment between two points of $K$ is in $S$? We then present a polynomial algorithm for this question when $n\leq 2k-c$, conditional on a conjecture of R.E. Jamison. For $n=k$, an algorithm in $\mathcal{O}(n^4)$ was proposed by Wade and Chu. For this case, our algorithm is linear and does not rely on Jamison's conjecture.

中文翻译：

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完整图的斜率约束绘制的 NP 完备性

我们证明以下问题的NP完全性。给定一组 $S$ 的 $n$ 个斜率和一个整数 $k\geq 1$，是否可以仅使用 $S$ 的斜率在平面中的 $k$ 个顶点上绘制完整图？等价地，在一般位置是否存在一组 $k$ 点的 $K$ 点，使得 $K$ 的两个点之间的每个线段的斜率都在 $S$ 中？然后，当 $n\leq 2k-c$ 时，我们针对这个问题提出多项式算法，条件是 RE Jamison 的猜想。对于$n=k$，Wade和Chu提出了$\mathcal{O}(n^4)$中的算法。对于这种情况，我们的算法是线性的，不依赖于贾米森的猜想。