In this note prove the following Berwald-type inequality, showing that for any integrable log-concave function $f:\mathbb R^n\rightarrow[0,\infty)$ and any concave function $h:L\rightarrow\mathbb [0,\infty)$, where $L$ is the epigraph of $-\log \frac{f}{\Vert f\Vert_\infty}$, then $$p\to \left(\frac{1}{\Gamma(1+p)\int_L e^{-t}dtdx}\int_L h^p(x,t)e^{-t}dtdx\right)^\frac{1}{p} $$ is decreasing in $p\in(-1,\infty)$, extending the range of $p$ where the monotonicity is known to hold true. As an application of this extension, we will provide a new proof of a functional form of Zhang's reverse Petty projection inequality, recently obtained in [ABG].

中文翻译：

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Berwald 不等式的推广及其与张不等式的关系

在本笔记中证明以下 Berwald 型不等式，表明对于任何可积对数凹函数 $f:\mathbb R^n\rightarrow[0,\infty)$ 和任何凹函数 $h:L\rightarrow\mathbb [ 0,\infty)$，其中 $L$ 是 $-\log \frac{f}{\Vert f\Vert_\infty}$ 的题词，然后 $$p\to \left(\frac{1}{ \Gamma(1+p)\int_L e^{-t}dtdx}\int_L h^p(x,t)e^{-t}dtdx\right)^\frac{1}{p} $$ 正在减少在 $p\in(-1,\infty)$ 中，扩展了已知单调性成立的 $p$ 范围。作为此扩展的应用，我们将提供最近在 [ABG] 中获得的 Zhang 反向 Petty 投影不等式的函数形式的新证明。