Imagine an assembly line where a box with a lid and liquid in it enters in some unknown orientation. The box should leave the line with the open lid facing upwards with the liquid still in it. To save costs there are no complex sensors or image recognition software available on the assembly line, so a reset sequence needs to be computed. But how can the dependencies of the deforming impact of a transformation of the box, such as 'do not tilt the box over when the lid is open' or 'open the lid again each time it gets closed' be modeled? We present three attempts to model constraints of these kinds on the order in which the states of an automaton are transitioned by a synchronizing word. The first two concepts relate the last visits of states and form constraints on which states still need to be reached, whereas the third concept concerns the first visits of states and forms constraints on which states might still be reached. We examine the computational complexity of different variants of the problem, whether an automaton can be synchronized with a word that respects the constraints defined in the respective concept, and obtain nearly a full classification. While most of the problems are PSPACE-complete we also observe NP-complete variants and variants solvable in polynomial time. We will also observe a drop of the complexity if we track the orders of states on several paths simultaneously instead of tracking the set of active states. Further, we give upper bounds on the length of a synchronizing word depending on the size of the input relation and show that the Cerny conjecture holds for partial weakly acyclic automata.

中文翻译：

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动态约束下的同步

想象一条装配线，其中一个带有盖子和液体的盒子以某种未知的方向进入。盒子应该离开线，打开的盖子朝上，液体仍然在里面。为了节省成本，装配线上没有复杂的传感器或图像识别软件，因此需要计算重置序列。但是，如何模拟盒子变形的变形影响的相关性，例如“打开盖子时不要将盒子倾斜”或“每次关闭时再次打开盖子”？我们提出了三种尝试来模拟这些类型的约束，其中自动机的状态由同步词转换的顺序。前两个概念涉及状态的最后访问并形成对哪些状态仍需要到达的约束，而第三个概念涉及国家的首次访问，并对哪些国家可能仍能到达形成限制。我们检查问题的不同变体的计算复杂度，自动机是否可以与尊重各自概念中定义的约束的单词同步，并获得几乎完整的分类。虽然大多数问题都是 PSPACE 完全问题，但我们也观察到 NP 完全变体和可在多项式时间内求解的变体。如果我们同时跟踪多条路径上的状态顺序而不是跟踪活动状态集，我们还将观察到复杂性的下降。此外，我们根据输入关系的大小给出了同步词长度的上限，并表明 Cerny 猜想适用于部分弱无环自动机。我们检查问题的不同变体的计算复杂度，自动机是否可以与尊重各自概念中定义的约束的单词同步，并获得几乎完整的分类。虽然大多数问题都是 PSPACE 完全问题，但我们也观察到 NP 完全变体和可在多项式时间内求解的变体。如果我们同时跟踪多条路径上的状态顺序而不是跟踪活动状态集，我们还将观察到复杂性的下降。此外，我们根据输入关系的大小给出了同步词长度的上限，并表明 Cerny 猜想适用于部分弱无环自动机。我们检查问题的不同变体的计算复杂度，自动机是否可以与尊重各自概念中定义的约束的单词同步，并获得几乎完整的分类。虽然大多数问题都是 PSPACE 完全问题，但我们也观察到 NP 完全变体和可在多项式时间内求解的变体。如果我们同时跟踪多条路径上的状态顺序而不是跟踪活动状态集，我们还将观察到复杂性的下降。此外，我们根据输入关系的大小给出了同步词长度的上限，并表明 Cerny 猜想适用于部分弱无环自动机。并获得近乎完整的分类。虽然大多数问题都是 PSPACE 完全问题，但我们也观察到 NP 完全变体和可在多项式时间内求解的变体。如果我们同时跟踪多条路径上的状态顺序而不是跟踪活动状态集，我们还将观察到复杂性的下降。此外，我们根据输入关系的大小给出了同步词长度的上限，并表明 Cerny 猜想适用于部分弱无环自动机。并获得近乎完整的分类。虽然大多数问题都是 PSPACE 完全问题，但我们也观察到 NP 完全变体和可在多项式时间内求解的变体。如果我们同时跟踪多条路径上的状态顺序而不是跟踪活动状态集，我们还将观察到复杂性的下降。此外，我们根据输入关系的大小给出了同步词长度的上限，并表明 Cerny 猜想适用于部分弱无环自动机。