Angluin et al. proved that population protocols compute exactly the predicates definable in Presburger arithmetic (PA), the first-order theory of addition. As part of this result, they presented a procedure that translates any formula $\varphi$ of quantifier-free PA with remainder predicates (which has the same expressive power as full PA) into a population protocol with $2^{O(\text{poly}(|\varphi|))}$ states that computes $\varphi$. More precisely, the number of states of the protocol is exponential in both the bit length of the largest coefficient in the formula, and the number of nodes of its syntax tree. In this paper, we prove that every formula $\varphi$ of quantifier-free PA with remainder predicates is computable by a leaderless population protocol with $O(\text{poly}(|\varphi|))$ states. Our proof is based on several new constructions, which may be of independent interest. Given a formula $\varphi$ of quantifier-free PA with remainder predicates, a first construction produces a succinct protocol (with $O(|\varphi|^3)$ leaders) that computes $\varphi$; this completes the work initiated in [STACS'18], where we constructed such protocols for a fragment of PA. For large enough inputs, we can get rid of these leaders. If the input is not large enough, then it is small, and we design another construction producing a succinct protocol with one leader that computes $\varphi$. Our last construction gets rid of this leader for small inputs.

中文翻译：

---

Presburger 算术的简洁总体协议

Angluin 等。证明了种群协议精确地计算了可在 Presburger 算术 (PA) 中定义的谓词，即加法的一阶理论。作为这个结果的一部分，他们提出了一个程序，将带有余数谓词的无量词 PA 的任何公式 $\varphi$（具有与完整 PA 相同的表达能力）转换为具有 $2^{O(\text{ poly}(|\varphi|))}$ 表示计算 $\varphi$。更准确地说，协议的状态数在公式中最大系数的位长和其语法树的节点数上都是指数级的。在本文中，我们证明了具有余数谓词的无量词 PA 的每个公式 $\varphi$ 都可以通过具有 $O(\text{poly}(|\varphi|))$ 状态的无领导种群协议来计算。我们的证明是基于几个新的结构，这可能具有独立的利益。给定一个带有余数谓词的无量词 PA 的公式 $\varphi$，第一个构造产生一个简洁的协议（带有 $O(|\varphi|^3)$ 领导者）计算 $\varphi$；这完成了在 [STACS'18] 中发起的工作，在那里我们为 PA 的片段构建了这样的协议。对于足够大的输入，我们可以摆脱这些领导者。如果输入不够大，那么它就很小，我们设计另一种结构，产生一个简洁的协议，其中有一个领导者计算 $\varphi$。我们的最后一个构建摆脱了这个领导者的小投入。这完成了在 [STACS'18] 中发起的工作，在那里我们为 PA 的片段构建了这样的协议。对于足够大的输入，我们可以摆脱这些领导者。如果输入不够大，那么它就很小，我们设计另一种结构，产生一个简洁的协议，其中有一个领导者计算 $\varphi$。我们的最后一个构建摆脱了这个领导者的小投入。这完成了在 [STACS'18] 中发起的工作，在那里我们为 PA 的片段构建了这样的协议。对于足够大的输入，我们可以摆脱这些领导者。如果输入不够大，那么它就很小，我们设计另一种结构，产生一个简洁的协议，其中有一个领导者计算 $\varphi$。我们的最后一个构建摆脱了这个领导者的小投入。