Given a double vector bundle $D\to M$, we define a bigraded `Weil algebra' $\mathcal{W}(D)$, which `realizes' the algebra of smooth functions on the supermanifold $D[1,1]$. We describe in detail the relations between the Weil algebras of $D$ and those of the double vector bundles $D',\ D"$ obtained by duality operations. In particular, we show that double-linear Poisson structures on $D$ can be described alternatively as Gerstenhaber brackets on $\mathcal{W}(D)$, vertical differentials on $\mathcal{W}(D')$, or horizontal differentials on $\mathcal{W}(D")$. We also give a new proof of Voronov's result characterizing double Lie algebroid structures. In the case that $D=TA$ is the tangent prolongation of a Lie algebroid, we find that $\mathcal{W}(D)$ is the Weil algebra of the Lie algebroid, as defined by Mehta and Abad-Crainic. We show that the deformation complex of Lie algebroids, the theory of IM forms and IM multivector fields, and 2-term representations up to homotopy all have natural interpretations in terms of our Weil algebras.

中文翻译：

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双李代数的Weil代数

给定一个双向量丛$D\to M$，我们定义了一个双梯度`Weil代数'$\mathcal{W}(D)$，它“实现”了超流形$D[1,1]上的光滑函数的代数$. 我们详细描述了 $D$ 的 Weil 代数与通过对偶运算获得的双向量丛 $D',\D"$ 的 Weil 代数之间的关系。特别是，我们证明了 $D$ 上的双线性 Poisson 结构可以也可以描述为 $\mathcal{W}(D)$ 上的 Gerstenhaber 括号，$\mathcal{W}(D')$ 上的垂直微分，或 $\mathcal{W}(D")$ 上的水平微分。我们还给出了表征双李代数结构的 Voronov 结果的新证明。在$D=TA$是李代数的切线延长的情况下，我们发现$\mathcal{W}(D)$是李代数的Weil代数，由 Mehta 和 Abad-Crainic 定义。我们表明，李代数的变形复形、IM 形式和 IM 多向量场理论以及高达同伦的 2 项表示都在我们的 Weil 代数方面具有自然的解释。