We introduce a new quantum optimization algorithm for dense Linear Programming problems, which can be seen as the quantization of the Interior Point Predictor-Corrector algorithm \cite{Predictor-Corrector} using a Quantum Linear System Algorithm \cite{DenseHHL}. The (worst case) work complexity of our method is, up to polylogarithmic factors, $O(L\sqrt{n}(n+m)\overline{||M||_F}\bar{\kappa}^2\epsilon^{-2})$ for $n$ the number of variables in the cost function, $m$ the number of constraints, $\epsilon^{-1}$ the target precision, $L$ the bit length of the input data, $\overline{||M||_F}$ an upper bound to the Frobenius norm of the linear systems of equations that appear, $||M||_F$, and $\bar{\kappa}$ an upper bound to the condition number $\kappa$ of those systems of equations. This represents a quantum speed-up in the number $n$ of variables in the cost function with respect to the comparable classical Interior Point algorithms when the initial matrix of the problem $A$ is dense: if we substitute the quantum part of the algorithm by classical algorithms such as Conjugate Gradient Descent, that would mean the whole algorithm has complexity $O(L\sqrt{n}(n+m)^2\bar{\kappa} \log(\epsilon^{-1}))$, or with exact methods, at least $O(L\sqrt{n}(n+m)^{2.373})$. Also, in contrast with any Quantum Linear System Algorithm, the algorithm described in this article outputs a classical description of the solution vector, and the value of the optimal solution.

中文翻译：

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一种用于线性规划的量子内点预测校正算法

我们为密集线性规划问题引入了一种新的量子优化算法，可以将其视为使用量子线性系统算法 \cite{DenseHHL} 对内点预测-校正算法 \cite{Predictor-Corrector} 进行量化。我们方法的（最坏情况）工作复杂度是，最多为多对数因子，$O(L\sqrt{n}(n+m)\overline{||M||_F}\bar{\kappa}^2\ epsilon^{-2})$ 为 $n$ 成本函数中变量的数量，$m$ 约束的数量，$\epsilon^{-1}$ 目标精度，$L$ 的位长输入数据，$\overline{||M||_F}$ 是出现的线性方程组的 Frobenius 范数的上限，$||M||_F$ 和 $\bar{\kappa}$这些方程组的条件数 $\kappa$ 的上限。当问题的初始矩阵 $A$ 密集时，这表示成本函数中变量数量 $n$ 相对于可比较的经典内点算法的量子加速：如果我们替换算法的量子部分通过共轭梯度下降等经典算法，这意味着整个算法的复杂度为 $O(L\sqrt{n}(n+m)^2\bar{\kappa} \log(\epsilon^{-1}) )$，或使用精确方法，至少为 $O(L\sqrt{n}(n+m)^{2.373})$。此外，与任何量子线性系统算法相比，本文中描述的算法输出解向量的经典描述和最优解的值。如果我们用经典算法（如共轭梯度下降）代替算法的量子部分，则意味着整个算法的复杂度为 $O(L\sqrt{n}(n+m)^2\bar{\kappa} \log (\epsilon^{-1}))$，或使用精确方法，至少 $O(L\sqrt{n}(n+m)^{2.373})$。此外，与任何量子线性系统算法相比，本文中描述的算法输出解向量的经典描述和最优解的值。如果我们用经典算法（如共轭梯度下降）代替算法的量子部分，则意味着整个算法的复杂度为 $O(L\sqrt{n}(n+m)^2\bar{\kappa} \log (\epsilon^{-1}))$，或使用精确方法，至少 $O(L\sqrt{n}(n+m)^{2.373})$。此外，与任何量子线性系统算法相比，本文中描述的算法输出解向量的经典描述和最优解的值。