Abstract Let X be a right Hilbert module over a C ⁎ -algebra A equipped with the canonical operator space structure. We define an elementary operator on X as a map ϕ : X → X for which there exists a finite number of elements u i in the C ⁎ -algebra B ( X ) of adjointable operators on X and v i in the multiplier algebra M ( A ) of A such that ϕ ( x ) = ∑ i u i x v i for x ∈ X . If X = A this notion agrees with the standard notion of an elementary operator on A. In this paper we extend Mathieu's theorem for elementary operators on prime C ⁎ -algebras by showing that the completely bounded norm of each elementary operator on a non-zero Hilbert A-module X agrees with the Haagerup norm of its corresponding tensor in B ( X ) ⊗ M ( A ) if and only if A is a prime C ⁎ -algebra.

中文翻译：

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质数 C⁎-代数上希尔伯特模的初等算子

摘要 设 X 是 C ⁎ -代数 A 上的一个右希尔伯特模，它配备了规范算子空间结构。我们将 X 上的初等算子定义为映射 ϕ : X → X，其中在乘数代数 M ( A ) 中 X 和 vi 的伴随算子的 C ⁎ -代数 B ( X ) 中存在有限数量的元素 ui的 A 使得 ϕ ( x ) = ∑ iuixvi 对于 x ∈ X 。如果 X = A 这个概念与 A 上的初等算子的标准概念一致。 在本文中，我们扩展了质数 C ⁎ -代数上初等算子的 Mathieu 定理，通过证明每个初等算子在非零上的完全有界范数Hilbert A-模 X 与 B ( X ) ⊗ M ( A ) 中对应张量的 Haagerup 范数一致，当且仅当 A 是素数 C ⁎ -代数。