Abstract In this paper, we study the hydrodynamic limit for the inhomogeneous incompressible Navier-Stokes/Vlasov-Fokker-Planck equations in a two or three dimensional bounded domain when the initial density is bounded away from zero. The proof relies on the relative entropy argument to obtain the strong convergence of macroscopic density of the particles n ϵ in L ∞ ( 0 , T ; L 1 ( Ω ) ) , which extends the works of Goudon-Jabin-Vasseur [15] and Mellt-Vasseur [26] to inhomogeneous incompressible Navier-Stokes/Vlasov-Fokker-Planck equations. Precisely, the relative entropy estimates in [15] and [26] give the strong convergence of u ϵ and n ϵ , ρ ϵ and n ϵ , respectively. However, we only obtain the strong convergence of n ϵ and u ϵ from the relative entropy estimate, and we use another way to obtain the strong convergence of ρ ϵ via the convergence of u ϵ . Furthermore, when the initial density may vanish, taking advantage of compactness result L M ↪ ↪ H − 1 of Orlicz spaces in 2D, we obtain the convergence of n ϵ in L ∞ ( 0 , T ; H − 1 ( Ω ) ) , which is used to obtain the relative entropy estimate, thus we also show the hydrodynamic limit for 2D inhomogeneous incompressible Navier-Stokes/Vlasov-Fokker-Planck equations when there is initial vacuum.

中文翻译：

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非均匀不可压缩 Navier-Stokes/Vlasov-Fokker-Planck 方程的流体动力学极限

摘要 在本文中，我们研究了当初始密度远离零有界时，二维或三维有界域中非均匀不可压缩 Navier-Stokes/Vlasov-Fokker-Planck 方程的流体动力学极限。证明依赖于相对熵论证，获得粒子的宏观密度 n​​ ϵ 在 L ∞ ( 0 , T ; L 1 ( Ω ) ) 中的强收敛性，扩展了 Goudon-Jabin-Vasseur [15] 和Mellt-Vasseur [26] 到非均匀不可压缩 Navier-Stokes/Vlasov-Fokker-Planck 方程。准确地说，[15] 和 [26] 中的相对熵估计分别给出了 u ϵ 和 n ϵ 、ρ ϵ 和 n ϵ 的强收敛性。然而，我们只能从相对熵估计中获得 n ϵ 和 u ϵ 的强收敛性，我们使用另一种方式通过 u ϵ 的收敛性获得 ρ ϵ 的强收敛性。此外，当初始密度可能为零时，利用二维 Orlicz 空间的紧致性结果 LM ↪ ↪ H − 1，我们得到 n ϵ 在 L ∞ ( 0 , T ; H − 1 ( Ω ) ) 中的收敛性，即用于获得相对熵估计，因此我们还显示了当存在初始真空时二维非均匀不可压缩 Navier-Stokes/Vlasov-Fokker-Planck 方程的流体动力学极限。