Abstract In 1996, Bang-Jensen, Gutin, and Li proposed the following conjecture: If D is a strong digraph of order n where n ≥ 2 with the property that d ( x ) + d ( y ) ≥ 2 n − 1 for every pair of dominated non-adjacent vertices { x , y } , then D is hamiltonian. In this paper, we give an infinite family of counterexamples to this conjecture. In the same paper, they showed that for the above x , y , if they satisfy the condition either d ( x ) ≥ n , d ( y ) ≥ n − 1 or d ( x ) ≥ n − 1 , d ( y ) ≥ n , then D is hamiltonian. It is natural to ask if there is an integer k ≥ 1 such that every strong digraph of order n satisfying either d ( x ) ≥ n + k , d ( y ) ≥ n − 1 − k , or d ( x ) ≥ n − 1 − k , d ( y ) ≥ n + k , for every pair of dominated non-adjacent vertices { x , y } , is hamiltonian. In this paper, we show that k must be at most n − 5 and prove that every strong digraph with k = n − 4 satisfying the above condition is hamiltonian, except for one digraph on 5 vertices.

中文翻译：

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有向图为汉密尔顿的占优对条件

摘要 1996 年，Bang-Jensen、Gutin 和 Li 提出了以下猜想：如果 D 是一个 n 阶强有向图，其中 n ≥ 2，具有 d ( x ) + d ( y ) ≥ 2 n − 1 对于每个一对支配的非相邻顶点 { x , y } ，则 D 是哈密顿数。在本文中，我们针对这一猜想给出了无数的反例。在同一篇论文中，他们表明对于上述 x , y ，如果它们满足条件 d ( x ) ≥ n , d ( y ) ≥ n − 1 或 d ( x ) ≥ n − 1 , d ( y ) ≥ n ，则 D 是哈密顿量。很自然地会问是否存在一个整数 k ≥ 1 使得每个 n 阶强有向图满足 d ( x ) ≥ n + k , d ( y ) ≥ n − 1 − k ，或者 d ( x ) ≥ n − 1 − k , d ( y ) ≥ n + k ，对于每对占主导地位的非相邻顶点 { x , y } ，是哈密顿分布的。在本文中，