We significantly strengthen and generalize the theorem lifting Nullstellensatz degree to monotone span program size by Pitassi and Robere (2018) so that it works for any gadget with high enough rank, in particular, for useful gadgets such as equality and greater-than. We apply our generalized theorem to solve two open problems: * We present the first result that demonstrates a separation in proof power for cutting planes with unbounded versus polynomially bounded coefficients. Specifically, we exhibit CNF formulas that can be refuted in quadratic length and constant line space in cutting planes with unbounded coefficients, but for which there are no refutations in subexponential length and subpolynomial line space if coefficients are restricted to be of polynomial magnitude. * We give the first explicit separation between monotone Boolean formulas and monotone real formulas. Specifically, we give an explicit family of functions that can be computed with monotone real formulas of nearly linear size but require monotone Boolean formulas of exponential size. Previously only a non-explicit separation was known. An important technical ingredient, which may be of independent interest, is that we show that the Nullstellensatz degree of refuting the pebbling formula over a DAG G over any field coincides exactly with the reversible pebbling price of G. In particular, this implies that the standard decision tree complexity and the parity decision tree complexity of the corresponding falsified clause search problem are equal.

中文翻译：

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使用简单的小工具提升电路和证明复杂性的应用

我们显着加强和推广了 Pitassi 和 Robere（2018）提出的将 Nullstellensatz 度提升到单调跨度程序大小的定理，以便它适用于任何具有足够高等级的小工具，特别是对于有用的小工具，例如相等和大于。我们应用我们的广义定理来解决两个开放性问题： * 我们提出了第一个结果，该结果证明了切割具有无界系数与多项式有界系数的平面的证明能力的分离。具体来说，我们展示了可以在具有无界系数的切割平面中的二次长度和恒定线空间中反驳的 CNF 公式，但是如果系数被限制为多项式大小，则在次指数长度和次多项式线空间中没有反驳。* 我们首先明确区分单调布尔公式和单调实数公式。具体来说，我们给出了一个显式的函数族，这些函数可以用几乎线性大小的单调实数公式计算，但需要指数大小的单调布尔公式。以前只知道非显式分离。一个可能具有独立意义的重要技术要素是，我们证明了在任何领域的 DAG G 上反驳卵石公式的 Nullstellensatz 度与 G 的可逆卵石价格完全一致。特别是，这意味着标准相应的伪造子句搜索问题的决策树复杂度和奇偶决策树复杂度相等。我们给出了一个显式的函数族，这些函数可以用几乎线性大小的单调实数公式计算，但需要指数大小的单调布尔公式。以前只知道非显式分离。一个可能具有独立意义的重要技术要素是，我们证明了在任何领域的 DAG G 上反驳卵石公式的 Nullstellensatz 度与 G 的可逆卵石价格完全一致。特别是，这意味着标准相应的伪造子句搜索问题的决策树复杂度和奇偶决策树复杂度相等。我们给出了一个显式的函数族，这些函数可以用几乎线性大小的单调实数公式计算，但需要指数大小的单调布尔公式。以前只知道非显式分离。一个可能具有独立意义的重要技术要素是，我们证明了在任何领域的 DAG G 上反驳卵石公式的 Nullstellensatz 度与 G 的可逆卵石价格完全一致。特别是，这意味着标准相应的伪造子句搜索问题的决策树复杂度和奇偶决策树复杂度相等。