In 1985, Restivo and Salemi presented a list of five problems concerning power free languages. Problem $4$ states: Given $\alpha$-power-free words $u$ and $v$, decide whether there is a transition from $u$ to $v$. Problem $5$ states: Given $\alpha$-power-free words $u$ and $v$, find a transition word $w$, if it exists. Let $\Sigma_k$ denote an alphabet with $k$ letters. Let $L_{k,\alpha}$ denote the $\alpha$-power free language over the alphabet $\Sigma_k$, where $\alpha$ is a rational number or a rational "number with $+$". If $\alpha$ is a "number with $+$" then suppose $k\geq 3$ and $\alpha\geq 2$. If $\alpha$ is "only" a number then suppose $k=3$ and $\alpha>2$ or $k>3$ and $\alpha\geq 2$. We show that: If $u\in L_{k,\alpha}$ is a right extendable word in $L_{k,\alpha}$ and $v\in L_{k,\alpha}$ is a left extendable word in $L_{k,\alpha}$ then there is a (transition) word $w$ such that $uwv\in L_{k,\alpha}$. We also show a construction of the word $w$.

中文翻译：

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具有 $\alpha\geq 2$ 和 $k\geq 3$ 字母的 $\alpha$-Power Free Languages 的转换属性

1985 年，Restivo 和 Salemi 提出了关于无动力语言的五个问题的列表。问题$4$ 状态：给定$\alpha$-无幂词$u$ 和$v$，判断是否存在从$u$ 到$v$ 的转换。问题 $5$ 指出：给定 $\alpha$-无幂词 $u$ 和 $v$，找到一个过渡词 $w$，如果存在的话。让 $\Sigma_k$ 表示一个带有 $k$ 个字母的字母表。让 $L_{k,\alpha}$ 表示字母表 $\Sigma_k$ 上的 $\alpha$ 无幂语言，其中 $\alpha$ 是有理数或有理数“带 $+$”。如果 $\alpha$ 是“带 $+$ 的数字”，则假设 $k\geq 3$ 和 $\alpha\geq 2$。如果 $\alpha$ 是“仅”一个数字，则假设 $k=3$ 和 $\alpha>2$ 或 $k>3$ 和 $\alpha\geq 2$。我们证明：如果 $u\in L_{k,\alpha}$ 是 $L_{k,\alpha}$ 和 $v\in L_{k 中的右可扩展词，\alpha}$ 是 $L_{k,\alpha}$ 中的左可扩展词，那么存在（过渡）词 $w$ 使得 $uwv\in L_{k,\alpha}$。我们还展示了单词 $w$ 的构造。