Let $R$ be a commutative Noetherian local ring and $M,N$ be finitely generated $R$-modules. We prove a number of results of the form: if $\mbox{Hom}_R(M,N)$ has some nice properties and $\mbox{Ext}^{1 \leq i \leq n}_R(M,N)=0$ for some $n$, then $M$ (and sometimes $N$) must be be close to free. Our methods are quite elementary, yet they suffice to give a unified treatment, simplify, and sometimes extend a number of results in the literature.

中文翻译：

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Hom 和 Ext，重温

令 $R$ 是一个可交换的 Noetherian 局部环，而 $M,N$ 是有限生成的 $R$-模块。我们证明了以下形式的一些结果：如果 $\mbox{Hom}_R(M,N)$ 有一些很好的属性并且 $\mbox{Ext}^{1 \leq i \leq n}_R(M,N )=0$ 对于某些 $n$，则 $M$（有时是 $N$）必须接近免费。我们的方法非常基本，但它们足以统一处理、简化，有时甚至扩展文献中的许多结果。