We prove sharp inequalities between $L^p-$norms $(1<p<\infty )$ of functions $Hf$ and $H^{\ast }f$, where $H$ is the Hardy operator, $H^{\ast }$ is its dual, and $f$ is a nonnegative nonincreasing function on $(0,\infty ).$ In particular, we extend one result obtained for integer $p\ge 2$ by Boza and Soria (2019), to the whole range of values $p\ge 2$.

中文翻译：

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关于之间的最佳关系 ${\mathrm{大号}}^P$-Hardy运算符的范数及其对偶的递减函数

我们证明了 ${\mathrm{大号}}^p-$规范 $（\mathrm{1个}<p<\infty ）$ 功能的 $HF$ 和 $H^{\ast }F$，在哪里 $H$ 是Hardy运算符， $H^{\ast }$ 是它的双重 $F$ 是一个非负非递增函数 $（0，\infty ）。$ 特别地，我们扩展了整数获得的一个结果 $p\ge 2$ 由Boza和Soria（2019）提供 $p\ge 2$。