In this paper, we study a primal and dual relationship about triangles: For any graph $G$, let $\nu(G)$ be the maximum number of edge-disjoint triangles in $G$, and $\tau(G)$ be the minimum subset $F$ of edges such that $G \setminus F$ is triangle-free. It is easy to see that $\nu(G) \leq \tau(G) \leq 3 \nu(G)$, and in fact, this rather obvious inequality holds for a much more general primal-dual relation between $k$-hyper matching and covering in hypergraphs. Tuza conjectured in $1981$ that $\tau(G) \leq 2 \nu(G)$, and this question has received attention from various groups of researchers in discrete mathematics, settling various special cases such as planar graphs and generalized to bounded maximum average degree graphs, some cases of minor-free graphs, and very dense graphs. Despite these efforts, the conjecture in general graphs has remained wide open for almost four decades. In this paper, we provide a proof of a non-trivial consequence of the conjecture; that is, for every $k \geq 2$, there exist a (multi)-set $F \subseteq E(G): |F| \leq 2k \nu(G)$ such that each triangle in $G$ overlaps at least $k$ elements in $F$. Our result can be seen as a strengthened statement of Krivelevich's result on the fractional version of Tuza's conjecture (and we give some examples illustrating this.) The main technical ingredient of our result is a charging argument, that locally identifies edges in $F$ based on a local view of the packing solution. This idea might be useful in further studying the primal-dual relations in general and the Tuza's conjecture in particular.

中文翻译：

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三角形的多横断面和图扎猜想

在本文中，我们研究关于三角形的原始和对偶关系：对于任何图 $G$，令 $\nu(G)$ 是 $G$ 中边不相交三角形的最大数目，并且 $\tau(G) $ 是边的最小子集 $F$，使得 $G \setminus F$ 是无三角形的。很容易看出 $\nu(G) \leq \tau(G) \leq 3 \nu(G)$，事实上，这个相当明显的不等式适用于 $k 之间更一般的原始对偶关系$-超图中的超匹配和覆盖。Tuza 在 $1981$ 中推测 $\tau(G) \leq 2 \nu(G)$，这个问题受到了离散数学各组研究人员的关注，解决了平面图等各种特殊情况并推广到有界最大值平均度图、一些无次要图和非常密集的图。尽管有这些努力，近四年来，一般图中的猜想一直是开放的。在本文中，我们提供了猜想的非平凡结果的证明；也就是说，对于每一个 $k \geq 2$，存在一个（多）集 $F \subseteq E(G): |F| \leq 2k \nu(G)$ 使得 $G$ 中的每个三角形至少与 $F$ 中的 $k$ 个元素重叠。我们的结果可以被看作是 Krivelevich 对 Tuza 猜想的分数版本的结果的强化陈述（我们给出了一些例子来说明这一点。）我们结果的主要技术成分是一个充电论证，它局部识别基于 $F$ 的边包装解决方案的局部视图。这个想法可能有助于进一步研究一般的原始对偶关系，特别是图扎猜想。我们提供了猜想的非平凡结果的证明；也就是说，对于每一个 $k \geq 2$，存在一个（多）集 $F \subseteq E(G): |F| \leq 2k \nu(G)$ 使得 $G$ 中的每个三角形至少与 $F$ 中的 $k$ 个元素重叠。我们的结果可以被看作是 Krivelevich 对 Tuza 猜想的分数版本的结果的强化陈述（我们给出了一些例子来说明这一点。）我们结果的主要技术成分是一个充电论证，它局部识别基于 $F$ 的边包装解决方案的局部视图。这个想法可能有助于进一步研究一般的原始对偶关系，特别是图扎猜想。我们提供了猜想的非平凡结果的证明；也就是说，对于每一个 $k \geq 2$，存在一个（多）集 $F \subseteq E(G): |F| \leq 2k \nu(G)$ 使得 $G$ 中的每个三角形至少与 $F$ 中的 $k$ 个元素重叠。我们的结果可以被看作是 Krivelevich 对 Tuza 猜想的分数版本的结果的强化陈述（我们给出了一些例子来说明这一点。）我们结果的主要技术成分是一个充电论证，它局部识别基于 $F$ 的边包装解决方案的局部视图。这个想法可能有助于进一步研究一般的原始对偶关系，特别是图扎猜想。|F| \leq 2k \nu(G)$ 使得 $G$ 中的每个三角形至少与 $F$ 中的 $k$ 个元素重叠。我们的结果可以被看作是 Krivelevich 对 Tuza 猜想的分数版本的结果的强化陈述（我们给出了一些例子来说明这一点。）我们结果的主要技术成分是一个充电论证，它局部识别基于 $F$ 的边包装解决方案的局部视图。这个想法可能有助于进一步研究一般的原始对偶关系，特别是图扎猜想。|F| \leq 2k \nu(G)$ 使得 $G$ 中的每个三角形至少与 $F$ 中的 $k$ 个元素重叠。我们的结果可以被看作是 Krivelevich 对 Tuza 猜想的分数版本的结果的强化陈述（我们给出了一些例子来说明这一点。）我们结果的主要技术成分是一个充电论证，它局部识别基于 $F$ 的边包装解决方案的局部视图。这个想法可能有助于进一步研究一般的原始对偶关系，特别是图扎猜想。基于包装解决方案的局部视图局部识别 $F$ 中的边。这个想法可能有助于进一步研究一般的原始对偶关系，特别是图扎猜想。基于包装解决方案的局部视图局部识别 $F$ 中的边。这个想法可能有助于进一步研究一般的原始对偶关系，特别是图扎猜想。