Abstract In this paper, we connect two types of representations of a permutation σ of the finite field F q . One type is algebraic, in which the permutation is represented as the composition of degree-one polynomials and k copies of x q − 2 , for some prescribed value of k . The other type is combinatorial, in which the permutation is represented as the composition of a degree-one rational function followed by the product of k 2-cycles on P 1 ( F q ) ≔ F q ∪ { ∞ } , where each 2-cycle moves ∞ . We show that, after modding out by obvious equivalences amongst the algebraic representations, then for each k there is a bijection between the algebraic representations of σ and the combinatorial representations of σ . We also prove analogous results for permutations of P 1 ( F q ) . One consequence is a new characterization of the notion of Carlitz rank of a permutation on F q , which we use elsewhere to provide an explicit formula for the Carlitz rank. Another consequence involves a classical theorem of Carlitz, which says that if q > 2 then the group of permutations of F q is generated by the permutations induced by degree-one polynomials and x q − 2 . Our bijection provides a new perspective from which the two proofs of this result in the literature can be seen to arise naturally, without requiring the clever tricks that previously appeared to be needed in order to discover those proofs.

中文翻译：

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连接 Fq 排列的两种类型的表示

摘要 在本文中，我们连接了有限域 F q 的置换 σ 的两种表示。一种类型是代数的，其中置换表示为一次多项式和 xq − 2 的 k 个副本的组合，对于某个规定的 k 值。另一种类型是组合，其中置换表示为一次有理函数的组合，然后是 P 1 ( F q ) ≔ F q ∪ { ∞ } 上 k 个 2-循环的乘积，其中每个 2-循环移动 ∞ 。我们表明，在通过代数表示之间的明显等价进行修改后，对于每个 k，在 σ 的代数表示和 σ 的组合表示之间存在一个双射。我们还证明了 P 1 (F q) 排列的类似结果。一个结果是对 F q 上的排列的 Carlitz 秩概念的新表征，我们在别处使用它来提供 Carlitz 秩的明确公式。另一个结果涉及 Carlitz 的经典定理，该定理表示，如果 q > 2，则 F q 的排列组由由一次多项式和 xq − 2 引起的排列生成。我们的双射提供了一个新的视角，从中可以看到文献中这个结果的两个证明是自然出现的，而不需要以前似乎需要的聪明技巧来发现这些证明。2 那么 F q 的排列组是由一次多项式和 xq − 2 引起的排列生成的。我们的双射提供了一个新的视角，从中可以看到文献中这个结果的两个证明是自然产生的，而不需要以前似乎需要的聪明技巧来发现这些证明。2 那么 F q 的一组排列是由一次多项式和 xq − 2 诱导的排列生成的。我们的双射提供了一个新的视角，从中可以看到文献中这个结果的两个证明是自然出现的，而不需要以前似乎需要的聪明技巧来发现这些证明。