Let $ \Bbbk$ be a field of arbitrary characteristic, $A$ a Noetherian $ \Bbbk$-algebra and consider the polynomial ring $A[\mathbf x]=A[x_0,\dots,x_n]$. We consider homogeneous submodules of $A[\mathbf x]^m$ having a special set of generators: a marked basis over a quasi-stable module. Such a marked basis inherits several good properties of a Gr\"obner basis, including a Noetherian reduction relation. The set of submodules of $A[\mathbf x]^m$ having a marked basis over a given quasi-stable module has an affine scheme structure that we are able to exhibit. Furthermore, the syzygies of a module generated by such a marked basis are generated by a marked basis, too (over a suitable quasi-stable module in $\oplus^{m'}_{i=1} A[\mathbf x](-d_i)$). We apply the construction of marked bases and related properties to the investigation of Quot functors (and schemes). More precisely, for a given Hilbert polynomial, we can explicitely construct (up to the action of a general linear group) an open cover of the corresponding Quot functor made up of open functors represented by affine schemes. This gives a new proof that the Quot functor is the functor of points of a scheme. We also exhibit a procedure to obtain the equations defining a given Quot scheme as a subscheme of a suitable Grassmannian. Thanks to the good behaviour of marked bases with respect to Castelnuovo-Mumford regularity, we can adapt our methods in order to study the locus of the Quot scheme given by an upper bound on the regularity of its points.

中文翻译：

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通过准稳定模块上的标记基础计算报价方案

令 $\Bbbk$ 是一个任意特征的域，$A$ 是一个诺特的 $\Bbbk$-代数，并考虑多项式环 $A[\mathbf x]=A[x_0,\dots,x_n]$。我们考虑 $A[\mathbf x]^m$ 的同构子模块具有一组特殊的生成器：在准稳定模块上的标记基。这种标记基继承了 Gr\"obner 基的几个良好性质，包括诺特约简关系。$A[\mathbf x]^m$ 的子模集在给定的准稳定模上具有标记基，具有我们能够展示的仿射方案结构。此外，由这种标记基生成的模块的合子也是由标记基生成的（在 $\oplus^{m'}_{ 中合适的准稳定模块上i=1} A[\mathbf x](-d_i)$)。我们将标记基和相关属性的构造应用于 Quot 函子（和方案）的研究。更准确地说，对于给定的希尔伯特多项式，我们可以明确构造（直到一般线性群的作用）相应 Quot 函子的开覆盖，该开覆盖由仿射方案表示的开函子组成。这给出了一个新的证明，即 Quot 函子是一个方案的点的函子。我们还展示了一个程序来获得将给定 Quot 方案定义为合适 Grassmannian 的子方案的方程。由于标记基在 Castelnuovo-Mumford 规律方面的良好行为，我们可以调整我们的方法，以研究由其点的规律性上限给出的 Quot 方案的轨迹。我们可以显式地构造（直到一般线性群的作用）相应 Quot 函子的开覆盖，由仿射方案表示的开函子组成。这给出了一个新的证明，即 Quot 函子是一个方案的点的函子。我们还展示了一个程序来获得将给定 Quot 方案定义为合适 Grassmannian 的子方案的方程。由于标记基在 Castelnuovo-Mumford 规律方面的良好行为，我们可以调整我们的方法，以研究由其点的规律性上限给出的 Quot 方案的轨迹。我们可以显式地构造（直到一般线性群的作用）相应 Quot 函子的开覆盖，由仿射方案表示的开函子组成。这给出了一个新的证明，即 Quot 函子是一个方案的点的函子。我们还展示了一个程序来获得将给定 Quot 方案定义为合适 Grassmannian 的子方案的方程。由于标记基在 Castelnuovo-Mumford 规律方面的良好行为，我们可以调整我们的方法，以研究由其点的规律性上限给出的 Quot 方案的轨迹。我们还展示了一个程序来获得将给定 Quot 方案定义为合适 Grassmannian 的子方案的方程。由于标记基在 Castelnuovo-Mumford 规律方面的良好行为，我们可以调整我们的方法，以研究由其点的规律性上限给出的 Quot 方案的轨迹。我们还展示了一个程序来获得将给定 Quot 方案定义为合适 Grassmannian 的子方案的方程。由于标记基在 Castelnuovo-Mumford 规律方面的良好行为，我们可以调整我们的方法，以研究由其点的规律性上限给出的 Quot 方案的轨迹。