A well known theorem of Kuratowski in 1932 states that a graph is planar if, and only if, it does not contain a subdivision of $K_5$ or $K_{3,3}$. Wagner proved in 1937 that if a graph other than $K_5$ does not contain any subdivision of $K_{3,3}$ then it is planar or it admits a cut of size at most 2. Kelmans and, independently, Seymour conjectured in the 1970s that if a graph does not contain any subdivision of $K_5$ then it is planar or it admits a cut of size at most 4. In this paper, we give a proof of the Kelmans-Seymour conjecture. We also discuss several related results and problems.

中文翻译：

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凯尔曼-西摩猜想四：证明

著名的Kuratowski定理在1932年指出，当且仅当图不包含的细分时，图才是平面的。 ${ķ}_5$ 要么 ${ķ}_{3，3}$。瓦格纳（Wagner）在1937年证明，${ķ}_5$ 不包含的任何细分 ${ķ}_{3，3}$ 那么它是平面的，或者它最多允许切成2的大小。凯尔曼斯（Kelmans）以及西摩（Seymour）独立地推测，在1970年代，如果图形不包含任何细分， ${ķ}_5$那么它是平面的，或者最多允许切成4的大小。在本文中，我们给出了Kelmans-Seymour猜想的证明。我们还将讨论一些相关的结果和问题。