We use $K_4^{-}$ to denote the graph obtained from $K_4$ by removing an edge, and use $T{K}_5$ to denote a subdivision of $K_5$. Let G be a 5-connected nonplanar graph and $\{x_1,x_2,y_1,y_2\}\subseteq V(G)$ such that $G[\{x_1,x_2,y_1,y_2\}]\cong K_4^{-}$ with $y_1{y}_2\notin E(G)$. Let $w_1,w_2,w_3\in N(y_2)-\{x_1,x_2\}$ be distinct. We show that G contains a $T{K}_5$ in which $y_2$ is not a branch vertex, or $G-y_2$ contains $K_4^{-}$, or G has a special 5-separation, or $G-\{y_{2}v:v\notin \{w_1,w_2,w_3,x_1,x_2\}\}$ contains $T{K}_5$. This result will be used to prove the Kelmans-Seymour conjecture that every 5-connected nonplanar graph contains $T{K}_5$.

中文翻译：

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Kelmans-Seymour猜想II：2-顶点 ${ķ}_4^{-}$

我们用 ${ķ}_4^{-}$ 表示从获得的图 ${ķ}_4$ 通过去除边缘，并使用 $Ť{ķ}_5$ 表示的细分 ${ķ}_5$。令G为5连通的非平面图，$\{X_{\mathrm{1个}}，X_2，{ÿ}_{\mathrm{1个}}，{ÿ}_2\}\subseteq V（G）$ 这样 $G[\{X_{\mathrm{1个}}，X_2，{ÿ}_{\mathrm{1个}}，{ÿ}_2\}]\cong {ķ}_4^{-}$ 与 ${ÿ}_{\mathrm{1个}}{ÿ}_2\notin Ë（G）$。让$w_{\mathrm{1个}}，w_2，w_3\in ñ（{ÿ}_2）-\{X_{\mathrm{1个}}，X_2\}$与众不同。我们证明G包含一个$Ť{ķ}_5$ 在其中 ${ÿ}_2$ 不是分支顶点，或者 $G-{ÿ}_2$ 包含 ${ķ}_4^{-}$或G具有特殊的5分隔符，或$G-\{{ÿ}_{2}v：v\notin \{w_{\mathrm{1个}}，w_2，w_3，X_{\mathrm{1个}}，X_2\}\}$ 包含 $Ť{ķ}_5$。该结果将用于证明每个由5个连通的非平面图包含的Kelmans-Seymour猜想$Ť{ķ}_5$。