This paper deals with a study of $E_n{\left(f\right)}_{L_w^2\left(S\right)},$ the rate of approximation by polynomials of total degree $n$ in terms of the norm of $L_w^2\left(S\right)$ where $S$ is the simplex $S=\{(x_1,\dots ,x_d):x_i\ge 0,x_0=1-\sum _{i=1}^d{x}_i\ge 0\}\text{and}w=w_{\mathit{\gamma }}=x_0^{{\mathit{\gamma }}_0}\dots x_d^{{\gamma }_d},{\gamma }_i>-1.$ Direct and converse results are achieved relating $E_n{\left(f\right)}_{L_w^2\left(S\right)}$ to the operators ${\phi }_{\mathit{\xi }}^r\left(\mathit{x}\right){\left(\frac{\partial }{\partial \mathit{\xi }}\right)}^{r}f$ and corresponding $K$-functionals, where $\mathit{\xi }\in E\left(S\right)$ and $E\left(S\right)$ are the edges of $S.$ For the special case that $S$ is the triangle somewhat weaker results were recently achieved in Feng et al. (2019).

中文翻译：

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的最佳多项式逼近 ${\mathrm{大号}}_w^2（\mathrm{小号}）$ 对于单纯形 $\mathrm{小号}$

本文研究了 ${Ë}_{ñ}{（F）}_{{\mathrm{大号}}_w^2（\mathrm{小号}）}，$ 总次数的多项式近似率 $ñ$ 就...的规范而言 ${\mathrm{大号}}_w^2（\mathrm{小号}）$ 哪里 $\mathrm{小号}$ 是单纯形 $\mathrm{小号}=\{（X_{\mathrm{1个}}，\dots ，X_d）：X_{\mathrm{一世}}\ge 0，X_0=\mathrm{1个}-\sum _{\mathrm{一世}=\mathrm{1个}}^d{X}_{\mathrm{一世}}\ge 0\}\text{和}w=w_{\mathit{\gamma }}=X_0^{{\mathit{\gamma }}_0}\dots X_d^{{\gamma }_d}，{\gamma }_{\mathrm{一世}}>-\mathrm{1个}。$ 获得直接和相反的结果 ${Ë}_{ñ}{（F）}_{{\mathrm{大号}}_w^2（\mathrm{小号}）}$ 给运营商 ${\phi }_{\mathit{\xi }}^{\mathrm{[R}}（\mathit{X}）{（\frac{\partial }{\partial \mathit{\xi }}）}^{\mathrm{[R}}F$ 和对应的 $ķ$功能，在哪里 $\mathit{\xi }\in Ë（\mathrm{小号}）$ 和 $Ë（\mathrm{小号}）$ 是的边缘 $\mathrm{小号}。$ 对于特殊情况 $\mathrm{小号}$是三角形，最近在Feng等人的研究中取得了较弱的结果。（2019）。