Abstract Consider the Cauchy problem of the Navier-Stokes equations in R n with initial data a in the homogeneous Besov space B ˙ p , q − 1 + n p ( R n ) for n p ∞ and 1 ≦ q ≦ ∞ . We show that the Stokes flow e t Δ a can be controlled in L α , q ( 0 , ∞ ; B ˙ r , 1 0 ( R n ) ) for 2 α + n r = 1 with p ≦ r ∞ , where L α , q denotes the Lorentz space. As an application, the global existence theorem of mild solutions for the small initial data is established in the above class which is slightly stronger than Serrin's. Conversely, if the global solution belongs to the usual Serrin class L α , q ( 0 , ∞ ; L r ( R n ) ) for r and α as above with 1 q ≦ ∞ , then the initial data a necessarily belongs to B ˙ r , q − 1 + n r ( R n ) . Moreover, we prove that such solutions are analytic in the space variables. Our method for the proof of analyticity is based on a priori estimates of higher derivatives of solutions in L p ( R n ) with Holder continuity in time.

中文翻译：

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Navier-Stokes 方程的 Serrin 类解的齐次 Besov 空间中初始数据的表征

摘要 考虑在齐次 Besov 空间 B ˙ p , q − 1 + np ( R n ) 中，对于 np ∞ 和 1 ≦ q ≦ ∞，Navier-Stokes 方程在 R n 中的柯西问题，初始数据为 a。我们证明斯托克斯流 et Δ a 可以控制在 L α , q ( 0 , ∞ ; B ˙ r , 1 0 ( R n ) ) 2 α + nr = 1 且 p ≤ r ∞ , 其中 L α , q 表示洛伦兹空间。作为应用，在上面的类中建立了小初始数据的温和解的全局存在定理，比Serrin的稍强。相反，如果全局解属于通常的 Serrin 类 L α , q ( 0 , ∞ ; L r ( R n ) ) 对于 r 和 α 如上所述，其中 1 q ≦ ∞ ，那么初始数据 a 必然属于 B ˙ r , q − 1 + nr ( R n ) 。此外，我们证明了这样的解在空间变量中是解析的。