We adapt the theory of chordal Loewner chains to the operator-valued matricial upper-half plane over a $C^*$-algebra $\mathcal{A}$. We define an $\mathcal{A}$-valued chordal Loewner chain as a subordination chain of analytic self-maps of the $\mathcal{A}$-valued upper half-plane, such that each $F_t$ is the reciprocal Cauchy transform of an $\mathcal{A}$-valued law $\mu_t$, such that the mean and variance of $\mu_t$ are continuous functions of $t$. We relate $\mathcal{A}$-valued Loewner chains to processes with $\mathcal{A}$-valued free or monotone independent independent increments just as was done in the scalar case by Bauer ("Lowner's equation from a non-commutative probability perspective", J. Theoretical Prob., 2004) and Scheisinger ("The Chordal Loewner Equation and Monotone Probability Theory", Inf. Dim. Anal., Quantum Probability, and Related Topics, 2017). We show that the Loewner equation $\partial_t F_t(z) = DF_t(z)[V_t(z)]$, when interpreted in a certain distributional sense, defines a bijection between Lipschitz mean-zero Loewner chains $F_t$ and vector fields $V_t(z)$ of the form $V_t(z) = -G_{\nu_t}(z)$ where $\nu_t$ is a generalized $\mathcal{A}$-valued law. Based on the Loewner equation, we derive a combinatorial expression for the moments of $\mu_t$ in terms of $\nu_t$. We also construct non-commutative random variables on an operator-valued monotone Fock space which realize the laws $\mu_t$. Finally, we prove a version of the monotone central limit theorem which describes the behavior of $F_t$ as $t \to +\infty$ when $\nu_t$ has uniformly bounded support.

中文翻译：

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算子值和弦 Loewner 链和非交换概率

我们将和弦 Loewner 链的理论应用于 $C^*$-代数 $\mathcal{A}$ 上的算子值矩阵上半平面。我们将 $\mathcal{A}$ 值的和弦 Loewner 链定义为 $\mathcal{A}$ 值的上半平面的解析自映射的从属链，这样每个 $F_t$ 都是倒数柯西$\mathcal{A}$-valued law $\mu_t$ 的变换，使得 $\mu_t$ 的均值和方差是 $t$ 的连续函数。我们将 $\mathcal{A}$ 值的 Loewner 链与具有 $\mathcal{A}$ 值的自由或单调独立独立增量的过程联系起来，就像 Bauer 在标量情况下所做的那样（“来自非交换概率视角”，J. Theoretical Prob.，2004 年）和 Scheisinger（“弦洛伊纳方程和单调概率理论”，Inf. Dim. Anal.，量子概率和相关主题，2017 年）。我们证明了 Loewner 方程 $\partial_t F_t(z) = DF_t(z)[V_t(z)]$，当在某种分布意义上解释时，定义了 Lipschitz 均值零 Loewner 链 $F_t$ 和向量场之间的双射$V_t(z)$ 形式为 $V_t(z) = -G_{\nu_t}(z)$ 其中 $\nu_t$ 是广义的 $\mathcal{A}$ 值定律。基于 Loewner 方程，我们推导出了以 $\nu_t$ 表示的 $\mu_t$ 矩的组合表达式。我们还在一个运算符值单调 Fock 空间上构造了非交换随机变量，该空间实现了 $\mu_t$ 定律。最后，我们证明了单调中心极限定理的一个版本，当 $\nu_t$ 具有一致有界支持时，该定理将 $F_t$ 的行为描述为 $t \to +\infty$。我们证明了 Loewner 方程 $\partial_t F_t(z) = DF_t(z)[V_t(z)]$，当在某种分布意义上解释时，定义了 Lipschitz 均值零 Loewner 链 $F_t$ 和向量场之间的双射$V_t(z)$ 形式为 $V_t(z) = -G_{\nu_t}(z)$ 其中 $\nu_t$ 是广义的 $\mathcal{A}$ 值定律。基于 Loewner 方程，我们推导出了以 $\nu_t$ 表示的 $\mu_t$ 矩的组合表达式。我们还在一个运算符值单调 Fock 空间上构造了非交换随机变量，该空间实现了 $\mu_t$ 定律。最后，我们证明了单调中心极限定理的一个版本，当 $\nu_t$ 具有一致有界支持时，该定理将 $F_t$ 的行为描述为 $t \to +\infty$。我们证明了 Loewner 方程 $\partial_t F_t(z) = DF_t(z)[V_t(z)]$，当在某种分布意义上解释时，定义了 Lipschitz 均值零 Loewner 链 $F_t$ 和向量场之间的双射$V_t(z)$ 形式为 $V_t(z) = -G_{\nu_t}(z)$ 其中 $\nu_t$ 是广义的 $\mathcal{A}$ 值定律。基于 Loewner 方程，我们推导出了以 $\nu_t$ 表示的 $\mu_t$ 矩的组合表达式。我们还在一个运算符值单调 Fock 空间上构造了非交换随机变量，该空间实现了 $\mu_t$ 定律。最后，我们证明了单调中心极限定理的一个版本，当 $\nu_t$ 具有一致有界支持时，该定理将 $F_t$ 的行为描述为 $t \to +\infty$。定义 Lipschitz 均值零 Loewner 链 $F_t$ 和形式为 $V_t(z) = -G_{\nu_t}(z)$ 的向量场 $V_t(z)$ 之间的双射，其中 $\nu_t$ 是广义 $ \mathcal{A}$ 价值法则。基于 Loewner 方程，我们推导出了以 $\nu_t$ 表示的 $\mu_t$ 矩的组合表达式。我们还在一个运算符值单调 Fock 空间上构造了非交换随机变量，该空间实现了 $\mu_t$ 定律。最后，我们证明了单调中心极限定理的一个版本，当 $\nu_t$ 具有一致有界支持时，该定理将 $F_t$ 的行为描述为 $t \to +\infty$。定义 Lipschitz 均值零 Loewner 链 $F_t$ 和形式为 $V_t(z) = -G_{\nu_t}(z)$ 的向量场 $V_t(z)$ 之间的双射，其中 $\nu_t$ 是广义 $ \mathcal{A}$ 价值法则。基于 Loewner 方程，我们推导出了以 $\nu_t$ 表示的 $\mu_t$ 矩的组合表达式。我们还在一个运算符值单调 Fock 空间上构造了非交换随机变量，该空间实现了 $\mu_t$ 定律。最后，我们证明了单调中心极限定理的一个版本，当 $\nu_t$ 具有一致有界支持时，该定理将 $F_t$ 的行为描述为 $t \to +\infty$。我们还在一个运算符值单调 Fock 空间上构造了非交换随机变量，该空间实现了 $\mu_t$ 定律。最后，我们证明了单调中心极限定理的一个版本，当 $\nu_t$ 具有一致有界支持时，该定理将 $F_t$ 的行为描述为 $t \to +\infty$。我们还在一个运算符值单调 Fock 空间上构造了非交换随机变量，该空间实现了 $\mu_t$ 定律。最后，我们证明了单调中心极限定理的一个版本，当 $\nu_t$ 具有一致有界支持时，该定理将 $F_t$ 的行为描述为 $t \to +\infty$。