Let $T$ be the generator of a $C_0$-semigroup $e^{-Tt}$ which is of finite trace for all $t>0$ (a Gibbs semigroup). Let $A$ be another closed operator, $T$-bounded with $T$-bound equal to zero. In general $T+A$ might not be the generator of a Gibbs semigroup. In the first half of this paper we give sufficient conditions on $A$ so that $T+A$ is the generator of a Gibbs semigroup. We determine these conditions in terms of the convergence of the Dyson-Phillips expansion corresponding to the perturbed semigroup in suitable Schatten-von Neumann norms. In the second half of the paper we consider $T=H_\vartheta=-e^{-i\vartheta}\partial_x^2+e^{i\vartheta}x^2$, the non-selfadjoint harmonic oscillator, on $L^2(\mathbb{R})$ and $A=V$, a locally integrable potential growing like $|x|^{\alpha}$ for $0\leq \alpha \frac{4}{2-\alpha}$ and show that $H_\vartheta+V$ is the generator of a Gibbs semigroup $\mathrm{e}^{-(H_\vartheta+V)\tau}$ for $|\arg{\tau}|\leq \frac{\pi}{2}-|\vartheta|$. From this we determine asymptotics for the eigenvalues and for the resolvent norm of $H_\vartheta+V$.

中文翻译：

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吉布斯半群和非自伴谐振子的摄动

令 $T$ 是 $C_0$-半群 $e^{-Tt}$ 的生成元，它是所有 $t>0$（吉布斯半群）的有限迹。让 $A$ 是另一个封闭运算符，$T$-bounded 且 $T$-bound 等于 0。一般来说，$T+A$ 可能不是 Gibbs 半群的生成元。在本文的前半部分，我们给出了 $A$ 的充分条件，使得 $T+A$ 是 Gibbs 半群的生成元。我们根据与合适的 Schatten-von Neumann 范数中的扰动半群相对应的 Dyson-Phillips 展开的收敛性来确定这些条件。在论文的后半部分，我们考虑 $T=H_\vartheta=-e^{-i\vartheta}\partial_x^2+e^{i\vartheta}x^2$，非自伴随谐振子，在$L^2(\mathbb{R})$ 和 $A=V$，局部可积势增长如 $|x|^{\alpha}$ 为 $0\leq \alpha \frac{4}{2-\alpha}$ 并证明 $H_\vartheta+V$ 是 Gibbs 的生成器半群 $\mathrm{e}^{-(H_\vartheta+V)\tau}$ 为 $|\arg{\tau}|\leq \frac{\pi}{2}-|\vartheta|$。由此我们确定特征值和 $H_\vartheta+V$ 的解析范数的渐近线。