Let $X$ be a topological space. We consider certain generalized configuration spaces of points on $X$, obtained from the cartesian product $X^n$ by removing some intersections of diagonals. We give a systematic framework for studying the cohomology of such spaces using what we call "tcdga models" for the cochains on $X$. We prove the following theorem: suppose that $X$ is a "nice" topological space, $R$ is any commutative ring, $H^\bullet_c(X,R)\to H^\bullet(X,R)$ is the zero map, and that $H^\bullet_c(X,R)$ is a projective $R$-module. Then the compact support cohomology of any generalized configuration space of points on $X$ depends only on the graded $R$-module $H^\bullet_c(X,R)$. This generalizes a theorem of Arabia.

中文翻译：

---

广义配置空间的上同调

令 $X$ 是一个拓扑空间。我们考虑 $X$ 上点的某些广义配置空间，通过去除对角线的一些交点从笛卡尔积 $X^n$ 中获得。我们给出了一个系统的框架来研究这些空间的上同调，使用我们称之为 $X$ 上的 cochains 的“tcdga 模型”。我们证明以下定理：假设 $X$ 是一个“好”的拓扑空间，$R$ 是任何交换环，$H^\bullet_c(X,R)\to H^\bullet(X,R)$ 是零映射，并且 $H^\bullet_c(X,R)$ 是一个射影 $R$-module。那么$X$ 上点的任何广义配置空间的紧支持上同调仅取决于分级的$R$-module $H^\bullet_c(X,R)$。这概括了阿拉伯定理。