Let p be an odd prime, s and m be positive integers. Cyclic codes of length $2p^{{s}}$ over $\mathbb {F}_{{p}^{{m}}}$ are the ideals $\langle ( {x}-1)^{i}({x}+1)^{j} \rangle $ , where $0 \le {i}, {j} \le {p}^{ {s}}$ , of the principal ideal ring $\mathbb {F}_{{p}^{{m}}}[{x}]/\langle {x}^{2\textit {p}^{\textit {s}}}-1 \rangle $ . Using this structure, the symbol-pair distances of all cyclic codes of length $2\textit {p}^{\textit {s}}$ over $\mathbb F_{{p}^{{m}}}$ are completely determined. In addition, we establish all MDS symbol-pair cyclic codes of length $2\textit {p}^{\textit {s}}$ over $\mathbb F_{{p}^{{m}}}$ . Some MDS symbol-pair cyclic codes are better than all the known ones. Among others, we discuss possible applications to construct quantum MDS symbol-pair codes.

中文翻译：

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Fpm 上长度为 2ps 的 MDS 符号对循环码

让 磷 是一个奇素数， 秒 和 米是正整数。长度循环码 $2p^{{s}}$ 超过 $\mathbb {F}_{{p}^{{m}}}$ 是理想 $\langle ( {x}-1)^{i}({x}+1)^{j} \rangle $ ， 在哪里 $0 \le {i}, {j} \le {p}^{ {s}}$ , 主理想环 $\mathbb {F}_{{p}^{{m}}}[{x}]/\langle {x}^{2\textit {p}^{\textit {s}}}-1 \rangle $ . 使用这种结构，所有长度循环码的符号对距离 $2\textit {p}^{\textit {s}}$ 超过 $\mathbb F_{{p}^{{m}}}$ 完全确定。此外，我们建立了所有长度为 MDS 符号对的循环码 $2\textit {p}^{\textit {s}}$ 超过 $\mathbb F_{{p}^{{m}}}$ . 一些 MDS 符号对循环码比所有已知的都要好。其中，我们讨论了构建量子 MDS 符号对代码的可能应用。