We show that if a positive integer $q$ has $s(q)$ odd prime divisors $p$ for which $p^2$ divides $q$, then a positive proportion of the Laplacian eigenvalues of Maass newforms of weight $0$, level $q$, and principal character occur with multiplicity at least $2^{s(q)}$. Consequently, the new part of the cuspidal spectrum of the Laplacian on $\Gamma_0(q) \backslash \mathbb{H}$ cannot be simple for any odd non-squarefree integer $q$. This generalises work of Stromberg, who proved this for $q = 9$ by different methods.

中文翻译：

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非平方能级的 Maaß 新形式的谱多重性

我们表明，如果一个正整数 $q$ 有 $s(q)$ 奇素因数 $p$，其中 $p^2$ 除以 $q$，那么重量为 $0$ 的 Maass 新形式的拉普拉斯特征值的正比例、级别 $q$ 和主要字符以至少 $2^{s(q)}$ 的多重性出现。因此，$\Gamma_0(q) \backslash \mathbb{H}$ 上拉普拉斯算子的尖峰谱的新部分对于任何奇数非平方自由整数 $q$ 都不是简单的。这概括了 Stromberg 的工作，他通过不同的方法证明了 $q = 9$ 的这一点。