A time to event, [Formula: see text], is left-truncated by [Formula: see text] if [Formula: see text] can be observed only if [Formula: see text]. This often results in oversampling of large values of [Formula: see text], and necessitates adjustment of estimation procedures to avoid bias. Simple risk-set adjustments can be made to standard risk-set-based estimators to accommodate left truncation when [Formula: see text] and [Formula: see text] are quasi-independent. We derive a weaker factorization condition for the conditional distribution of [Formula: see text] given [Formula: see text] in the observable region that permits risk-set adjustment for estimation of the distribution of [Formula: see text], but not of the distribution of [Formula: see text]. Quasi-independence results when the analogous factorization condition for [Formula: see text] given [Formula: see text] holds also, in which case the distributions of [Formula: see text] and [Formula: see text] are easily estimated. While we can test for factorization, if the test does not reject, we cannot identify which factorization condition holds, or whether quasi-independence holds. Hence we require an unverifiable assumption in order to estimate the distribution of [Formula: see text] or [Formula: see text] based on truncated data. This contrasts with the common understanding that truncation is different from censoring in requiring no unverifiable assumptions for estimation. We illustrate these concepts through a simulation of left-truncated and right-censored data.

中文翻译：

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截断数据存在因式分解的不可识别性

事件发生时间，[公式：见正文]，被[公式：见正文]左截断，如果只有[公式：见正文]才能观察到[公式：见正文]。这通常会导致对 [公式：见正文] 的大值进行过采样，并且需要调整估计程序以避免偏差。当[公式：见正文]和[公式：见正文]准独立时，可以对标准的基于风险集的估计量进行简单的风险集调整，以适应左截断。我们为 [公式：见正文] 的条件分布推导出一个较弱的分解条件，给定 [公式：见正文] 在可观察区域中，允许风险集调整以估计 [公式：见正文] 的分布，但不是[公式：见正文]的分布。当 [公式：see text] 给定 [Formula: see text] 也成立，在这种情况下，[Formula: see text] 和 [Formula: see text] 的分布很容易估计。虽然我们可以测试分解，但如果测试没有拒绝，我们就无法确定哪个分解条件成立，或者准独立是否成立。因此，我们需要一个无法验证的假设，以便根据截断数据估计 [公式：见正文] 或 [公式：见正文] 的分布。这与通常的理解形成对比，即截断与审查不同，不需要不可验证的估计假设。我们通过对左截断和右删失数据的模拟来说明这些概念。虽然我们可以测试分解，但如果测试没有拒绝，我们就无法确定哪个分解条件成立，或者准独立是否成立。因此，我们需要一个无法验证的假设，以便根据截断数据估计 [公式：见正文] 或 [公式：见正文] 的分布。这与通常的理解形成对比，即截断与审查不同，不需要不可验证的估计假设。我们通过对左截断和右删失数据的模拟来说明这些概念。虽然我们可以测试分解，但如果测试没有拒绝，我们就无法确定哪个分解条件成立，或者准独立是否成立。因此，我们需要一个无法验证的假设，以便根据截断数据估计 [公式：见正文] 或 [公式：见正文] 的分布。这与通常的理解形成对比，即截断与审查不同，不需要不可验证的估计假设。我们通过对左截断和右删失数据的模拟来说明这些概念。这与通常的理解形成对比，即截断与审查不同，不需要不可验证的估计假设。我们通过对左截断和右删失数据的模拟来说明这些概念。这与通常的理解形成对比，即截断与审查不同，不需要不可验证的估计假设。我们通过对左截断和右删失数据的模拟来说明这些概念。