In this paper we study first-passage percolation in the configuration model with empirical degree distribution that follows a power-law with exponent $$\tau \in (2,3)$$τ∈(2,3). We assign independent and identically distributed (i.i.d.) weights to the edges of the graph. We investigate the weighted distance (the length of the shortest weighted path) between two uniformly chosen vertices, called typical distances. When the underlying age-dependent branching process approximating the local neighborhoods of vertices is found to produce infinitely many individuals in finite time—called explosive branching process—Baroni, Hofstad and the second author showed in Baroni et al. (J Appl Probab 54(1):146–164, 2017) that typical distances converge in distribution to a bounded random variable. The order of magnitude of typical distances remained open for the $$\tau \in (2,3)$$τ∈(2,3) case when the underlying branching process is not explosive. We close this gap by determining the first order of magnitude of typical distances in this regime for arbitrary, not necessary continuous edge-weight distributions that produce a non-explosive age-dependent branching process with infinite mean power-law offspring distributions. This sequence tends to infinity with the amount of vertices, and, by choosing an appropriate weight distribution, can be tuned to be any growing function that is $$O(\log \log n)$$O(loglogn), where n is the number of vertices in the graph. We show that the result remains valid for the the erased configuration model as well, where we delete loops and any second and further edges between two vertices.

中文翻译：

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无标度配置模型中的加权距离

在本文中，我们研究了具有经验度分布的配置模型中的首通道渗透，该分布遵循幂律，指数为 $$\tau \in (2,3)$$τ∈(2,3)。我们为图的边分配独立的同分布（iid）权重。我们研究了两个统一选择的顶点之间的加权距离（最短加权路径的长度），称为典型距离。当发现近似顶点局部邻域的潜在年龄相关分支过程在有限时间内产生无限多个个体时——称为爆炸性分支过程——Baroni、Hofstad 和第二作者在 Baroni 等人中展示。（J Appl Probab 54(1):146–164, 2017）典型的距离在分布中收敛到一个有界随机变量。当基础分支过程不是爆炸性的时，典型距离的数量级对于 $$\tau \in (2,3)$$τ∈(2,3) 情况保持开放。我们通过确定在这种情况下为任意的、不必要的连续边权重分布确定典型距离的第一数量级来缩小这一差距，这些分布产生具有无限平均幂律后代分布的非爆炸性年龄相关分支过程。这个序列随着顶点的数量趋于无穷大，并且通过选择适当的权重分布，可以调整为任何增长函数，它是 $$O(\log \log n)$$O(loglogn)，其中 n 是图中的顶点数。我们表明结果对于擦除的配置模型仍然有效，其中我们删除了循环以及两个顶点之间的任何第二条和更远的边。3) 底层分支过程不爆炸的情况。我们通过确定在这种情况下为任意的、不必要的连续边权重分布确定典型距离的第一数量级来缩小这一差距，这些分布产生具有无限平均幂律后代分布的非爆炸性年龄相关分支过程。这个序列随着顶点的数量趋于无穷大，并且通过选择适当的权重分布，可以调整为任何增长函数，它是 $$O(\log \log n)$$O(loglogn)，其中 n 是图中的顶点数。我们表明结果对于擦除的配置模型仍然有效，其中我们删除了循环以及两个顶点之间的任何第二条和更远的边。3) 底层分支过程不爆炸的情况。我们通过确定在这种情况下为任意的、不必要的连续边权重分布确定典型距离的第一数量级来缩小这一差距，这些分布产生具有无限平均幂律后代分布的非爆炸性年龄相关分支过程。这个序列随着顶点的数量趋于无穷大，并且通过选择适当的权重分布，可以调整为任何增长函数，它是 $$O(\log \log n)$$O(loglogn)，其中 n 是图中的顶点数。我们表明结果对于擦除的配置模型仍然有效，其中我们删除了循环以及两个顶点之间的任何第二个和更远的边。我们通过确定在这种情况下为任意的、不必要的连续边权重分布确定典型距离的第一数量级来缩小这一差距，这些分布产生具有无限平均幂律后代分布的非爆炸性年龄相关分支过程。这个序列随着顶点的数量趋于无穷大，并且通过选择适当的权重分布，可以调整为任何增长函数，它是 $$O(\log \log n)$$O(loglogn)，其中 n 是图中的顶点数。我们表明结果对于擦除的配置模型仍然有效，其中我们删除了循环以及两个顶点之间的任何第二条和更远的边。我们通过确定在这种情况下为任意的、不必要的连续边权重分布确定典型距离的第一数量级来缩小这一差距，这些分布产生具有无限平均幂律后代分布的非爆炸性年龄相关分支过程。这个序列随着顶点的数量趋于无穷大，并且通过选择适当的权重分布，可以调整为任何增长函数，它是 $$O(\log \log n)$$O(loglogn)，其中 n 是图中的顶点数。我们表明结果对于擦除的配置模型仍然有效，其中我们删除了循环以及两个顶点之间的任何第二条和更远的边。没有必要的连续边权重分布会产生具有无限平均幂律后代分布的非爆炸性依赖于年龄的分支过程。这个序列随着顶点的数量趋于无穷大，并且通过选择适当的权重分布，可以调整为任何增长函数，它是 $$O(\log \log n)$$O(loglogn)，其中 n 是图中的顶点数。我们表明结果对于擦除的配置模型仍然有效，其中我们删除了循环以及两个顶点之间的任何第二条和更远的边。没有必要的连续边权重分布会产生具有无限平均幂律后代分布的非爆炸性依赖于年龄的分支过程。这个序列随着顶点的数量趋于无穷大，并且通过选择适当的权重分布，可以调整为任何增长函数，它是 $$O(\log \log n)$$O(loglogn)，其中 n 是图中的顶点数。我们表明结果对于擦除的配置模型仍然有效，其中我们删除了循环以及两个顶点之间的任何第二个和更远的边。