Adaptive time-stepping with high-order embedded Runge-Kutta pairs and rejection sampling provides efficient approaches for solving differential equations. While many such methods exist for solving deterministic systems, little progress has been made for stochastic variants. One challenge in developing adaptive methods for stochastic differential equations (SDEs) is the construction of embedded schemes with direct error estimates. We present a new class of embedded stochastic Runge-Kutta (SRK) methods with strong order 1.5 which have a natural embedding of strong order 1.0 methods. This allows for the derivation of an error estimate which requires no additional function evaluations. Next we derive a general method to reject the time steps without losing information about the future Brownian path termed Rejection Sampling with Memory (RSwM). This method utilizes a stack data structure to do rejection sampling, costing only a few floating point calculations. We show numerically that the methods generate statistically-correct and tolerance-controlled solutions. Lastly, we show that this form of adaptivity can be applied to systems of equations, and demonstrate that it solves a stiff biological model 12.28x faster than common fixed timestep algorithms. Our approach only requires the solution to a bridging problem and thus lends itself to natural generalizations beyond SDEs.

中文翻译：

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通过自然嵌入和内存拒绝采样的自适应微分方程的自适应方法。

具有高阶嵌入式Runge-Kutta对的自适应时间步长和拒绝采样为求解微分方程提供了有效的方法。尽管存在许多解决确定性系统的方法，但对于随机变量却进展甚微。开发用于随机微分方程（SDE）的自适应方法的一项挑战是构造具有直接误差估计的嵌入式方案。我们提出了一类新的强序为1.5的嵌入式随机Runge-Kutta（SRK）方法，该方法自然嵌入了强序为1.0的方法。这允许推导误差估计，而无需其他功能评估。接下来，我们推导了一种通用的方法来拒绝时间步长，而又不会丢失有关未来布朗路径的信息，称为记忆拒绝采样（RSwM）。该方法利用堆栈数据结构进行拒绝采样，仅花费一些浮点计算。我们用数值方法表明，这些方法产生了统计上正确的和公差控制的解决方案。最后，我们证明了这种形式的适应性可以应用于方程组，并证明与一般的固定时间步长算法相比，它可以解决12.28x的刚性生物模型。我们的方法仅需要解决桥接问题，因此可以超越SDE进行自然概括。并证明它比普通的固定时间步长算法更快地解决了刚性生物模型12.28倍。我们的方法仅需要解决桥接问题，因此可以超越SDE进行自然概括。并证明它比普通的固定时间步长算法更快地解决了刚性生物模型12.28倍的问题。我们的方法仅需要解决桥接问题，因此可以超越SDE进行自然概括。