The little Grothendieck problem consists of maximizing $$\sum _{ij}C_{ij}x_ix_j$$∑ijCijxixj for a positive semidefinite matrix C, over binary variables $$x_i\in \{\pm 1\}$$xi∈{±1}. In this paper we focus on a natural generalization of this problem, the little Grothendieck problem over the orthogonal group. Given $$C\in \mathbb {R}^{dn\times dn}$$C∈Rdn×dn a positive semidefinite matrix, the objective is to maximize $$\sum _{ij}{\text {tr}}\left( C^T_{ij}O_iO_j^T\right) $$∑ijtrCijTOiOjT restricting $$O_i$$Oi to take values in the group of orthogonal matrices $$\mathcal {O}_d$$Od, where $$C_{ij}$$Cij denotes the (ij)-th $$d\times d$$d×d block of C. We propose an approximation algorithm, which we refer to as Orthogonal-Cut, to solve the little Grothendieck problem over the group of orthogonal matrices $$\mathcal {O}_d$$Od and show a constant approximation ratio. Our method is based on semidefinite programming. For a given $$d\ge 1$$d≥1, we show a constant approximation ratio of $$\alpha _{\mathbb {R}}(d)^2$$αR(d)2, where $$\alpha _{\mathbb {R}}(d)$$αR(d) is the expected average singular value of a $$d\times d$$d×d matrix with random Gaussian $$\mathcal {N}\left( 0,\frac{1}{d}\right) $$N0,1d i.i.d. entries. For $$d=1$$d=1 we recover the known $$\alpha _{\mathbb {R}}(1)^2=2/\pi $$αR(1)2=2/π approximation guarantee for the classical little Grothendieck problem. Our algorithm and analysis naturally extends to the complex valued case also providing a constant approximation ratio for the analogous little Grothendieck problem over the Unitary Group $$\mathcal {U}_d$$Ud. Orthogonal-Cut also serves as an approximation algorithm for several applications, including the Procrustes problem where it improves over the best previously known approximation ratio of $$\frac{1}{2\sqrt{2}}$$122. The little Grothendieck problem falls under the larger class of problems approximated by a recent algorithm proposed in the context of the non-commutative Grothendieck inequality. Nonetheless, our approach is simpler and provides better approximation with matching integrality gaps. Finally, we also provide an improved approximation algorithm for the more general little Grothendieck problem over the orthogonal (or unitary) group with rank constraints, recovering, when $$d=1$$d=1, the sharp, known ratios.

中文翻译：

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在正交群和酉群上逼近小格罗腾迪克问题

小格罗腾迪克问题包括最大化 $$\sum _{ij}C_{ij}x_ix_j$$∑ijCijxixj 的正半定矩阵 C，在二元变量 $$x_i\in \{\pm 1\}$$xi∈ {±1}。在本文中，我们专注于这个问题的自然推广，正交群上的小格罗腾迪克问题。给定 $$C\in \mathbb {R}^{dn\times dn}$$C∈Rdn×dn 一个半正定矩阵，目标是最大化 $$\sum _{ij}{\text {tr}} \left( C^T_{ij}O_iO_j^T\right) $$∑ijtrCijTOiOjT 限制 $$O_i$$Oi 取正交矩阵组中的值 $$\mathcal {O}_d$$Od，其中 $$ C_{ij}$$Cij 表示 C 的第 (ij)-th $$d\times d$$d×d 块。我们提出了一种近似算法，我们称之为正交切割，解决正交矩阵组上的小格罗腾迪克问题 $$\mathcal {O}_d$$Od 并显示恒定的近似比。我们的方法基于半定规划。对于给定的 $$d\ge 1$$d≥1，我们显示 $$\alpha _{\mathbb {R}}(d)^2$$αR(d)2 的恒定近似比，其中 $$ \alpha _{\mathbb {R}}(d)$$αR(d) 是 $$d\times d$$d×d 矩阵的期望平均奇异值，具有随机高斯 $$\mathcal {N}\ left( 0,\frac{1}{d}\right) $$N0,1d iid 条目。对于 $$d=1$$d=1 我们恢复已知的 $$\alpha _{\mathbb {R}}(1)^2=2/\pi $$αR(1)2=2/π 近似保证对于经典的小格洛腾迪克问题。我们的算法和分析自然地扩展到复值情况，还为酉群 $$\mathcal {U}_d$$Ud 上的类似小格罗腾迪克问题提供了恒定的近似比。Orthogonal-Cut 也可用作多种应用的近似算法，包括 Procrustes 问题，它改进了先前已知的最佳近似比率 $$\frac{1}{2\sqrt{2}}$$122。小格罗腾迪克问题属于更大类的问题，该问题由在非交换格罗腾迪克不等式的上下文中提出的最新算法近似。尽管如此，我们的方法更简单，并且通过匹配的完整性差距提供了更好的近似。最后，我们还为具有秩约束的正交（或酉）群上的更一般的小格罗腾迪克问题提供了一种改进的近似算法，当 $$d=1$$d=1 时，恢复锐利的已知比率。包括 Procrustes 问题，它改进了先前已知的最佳近似比率 $$\frac{1}{2\sqrt{2}}$$122。小格罗腾迪克问题属于更大类的问题，该问题由在非交换格罗腾迪克不等式的上下文中提出的最新算法近似。尽管如此，我们的方法更简单，并且通过匹配的完整性差距提供了更好的近似。最后，我们还为具有秩约束的正交（或酉）群上的更一般的小格罗腾迪克问题提供了一种改进的近似算法，当 $$d=1$$d=1 时，恢复锐利的已知比率。包括 Procrustes 问题，它改进了先前已知的最佳近似比率 $$\frac{1}{2\sqrt{2}}$$122。小格罗腾迪克问题属于更大类的问题，该问题由在非交换格罗腾迪克不等式的上下文中提出的最新算法近似。尽管如此，我们的方法更简单，并且通过匹配的完整性差距提供了更好的近似。最后，我们还为具有秩约束的正交（或酉）群上的更一般的小格罗腾迪克问题提供了一种改进的近似算法，当 $$d=1$$d=1 时，恢复锐利的已知比率。小格罗腾迪克问题属于更大类的问题，该问题由在非交换格罗腾迪克不等式的上下文中提出的最新算法近似。尽管如此，我们的方法更简单，并且通过匹配的完整性差距提供了更好的近似。最后，我们还为具有秩约束的正交（或酉）群上的更一般的小格罗腾迪克问题提供了一种改进的近似算法，当 $$d=1$$d=1 时，恢复锐利的已知比率。小格罗腾迪克问题属于更大类的问题，该问题由在非交换格罗腾迪克不等式的上下文中提出的最新算法近似。尽管如此，我们的方法更简单，并且通过匹配的完整性差距提供了更好的近似。最后，我们还为具有秩约束的正交（或酉）群上的更一般的小格罗腾迪克问题提供了一种改进的近似算法，当 $$d=1$$d=1 时，恢复锐利的已知比率。