In this paper, we describe a model for maximum likelihood estimation (MLE) of the relative abundances of different conformations of a protein in a heterogeneous mixture from small angle X-ray scattering (SAXS) intensities. To consider cases where the solution includes intermediate or unknown conformations, we develop a subset selection method based on k-means clustering and the Cramér-Rao bound on the mixture coefficient estimation error to find a sparse basis set that represents the space spanned by the measured SAXS intensities of the known conformations of a protein. Then, using the selected basis set and the assumptions on the model for the intensity measurements, we show that the MLE model can be expressed as a constrained convex optimization problem. Employing the adenylate kinase (ADK) protein and its known conformations as an example, and using Monte Carlo simulations, we demonstrate the performance of the proposed estimation scheme. Here, although we use 45 crystallographically determined experimental structures and we could generate many more using, for instance, molecular dynamics calculations, the clustering technique indicates that the data cannot support the determination of relative abundances for more than 5 conformations. The estimation of this maximum number of conformations is intrinsic to the methodology we have used here.

中文翻译：

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小角度 X 射线散射强度测量中异质混合物中蛋白质构象相对丰度的约束最大似然估计

在本文中，我们描述了一个模型，用于从小角度 X 射线散射 (SAXS) 强度对异质混合物中蛋白质不同构象的相对丰度进行最大似然估计 (MLE)。为了考虑解决方案包括中间或未知构象的情况，我们开发了一种基于 k-means 聚类和混合系数估计误差上的 Cramér-Rao 界限的子集选择方法，以找到一个稀疏基组，该方法表示被测量跨越的空间蛋白质已知构象的 SAXS 强度。然后，使用选定的基组和强度测量模型的假设，我们表明 MLE 模型可以表示为约束凸优化问题。以腺苷酸激酶 (ADK) 蛋白及其已知构象为例，并使用蒙特卡罗模拟，我们证明了所提出的估计方案的性能。在这里，虽然我们使用了 45 种晶体学确定的实验结构，并且我们可以使用例如分子动力学计算生成更多，但聚类技术表明数据不能支持确定超过 5 种构象的相对丰度。这个最大构象数的估计是我们在这里使用的方法所固有的。聚类技术表明数据不能支持确定超过 5 种构象的相对丰度。这个最大构象数的估计是我们在这里使用的方法所固有的。聚类技术表明数据不能支持确定超过 5 种构象的相对丰度。这个最大构象数的估计是我们在这里使用的方法所固有的。