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Effect of large deformation and surface stiffening on the transmission of a line load on a neo-Hookean half space†
Soft Matter ( IF 2.9 ) Pub Date : 2018-02-12 00:00:00 , DOI: 10.1039/c7sm02394d Haibin Wu 1, 2, 3 , Zezhou Liu 1, 2, 3 , Anand Jagota 3, 4, 5 , Chung-Yuen Hui 1, 2, 3
Soft Matter ( IF 2.9 ) Pub Date : 2018-02-12 00:00:00 , DOI: 10.1039/c7sm02394d Haibin Wu 1, 2, 3 , Zezhou Liu 1, 2, 3 , Anand Jagota 3, 4, 5 , Chung-Yuen Hui 1, 2, 3
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A line force acting on a soft elastic solid, say due to the surface tension of a liquid drop, can cause significant deformation and the formation of a kink close to the point of force application. Analysis based on linearized elasticity theory shows that sufficiently close to its point of application, the force is borne entirely by the surface stress, not by the elasticity of the substrate; this local balance of three forces is called Neumann's triangle. However, it is not difficult to imagine realistic properties for which this force balance cannot be satisfied. For example, if the line force corresponds to surface tension of water, the numerical values of (unstretched) solid–vapor and solid–liquid surface stresses can easily be such that their sum is insufficient to balance the applied force. In such cases conventional (or naïve) Neumann's triangle of surface forces must break down. Here we study how force balance is rescued from the breakdown of naïve Neumann's triangle by a combination of (a) large hyperelastic deformations of the underlying bulk solid, and (b) increase in surface stress due to surface elasticity (surface stiffening). For a surface with constant surface stress (no surface stiffening), we show that the linearized theory remains accurate if the applied force is less than about 1.3 times the solid surface stress. For a surface in which the surface stress increases linearly with the surface stretch, we find that the Neumann's triangle construction works well as long as we replace the constant surface stress in the naïve Neumann triangle by the actual surface stress underneath the line load.
中文翻译：
大变形和表面硬化对新霍克半空间上的线荷载传递的影响†
例如，由于液滴的表面张力，作用在柔软的弹性固体上的线力会导致明显的变形，并在力施加点附近形成扭结。基于线性弹性理论的分析表明，在足够接近其应用点的情况下，力完全由表面应力而不是基材的弹性承担；这三个力的局部平衡称为诺伊曼三角。但是，不难想象无法满足这种力平衡的现实特性。例如，如果线力对应于水的表面张力，则（未拉伸的）固-气和固-液表面应力的数值很容易达到其总和不足以平衡施加的力。在这种情况下，传统的（或幼稚的）诺伊曼 s的表面力三角形必须分解。在这里，我们研究如何通过以下两种方式的组合来从幼稚的诺伊曼三角形的破坏中恢复力平衡：（a）底层散装固体的大超弹性变形，以及（b）由于表面弹性（表面变硬）而引起的表面应力增加。对于具有恒定表面应力（无表面硬化）的表面，我们表明，如果施加的力小于固体表面应力的约1.3倍，则线性化理论仍然是准确的。对于表面应力随表面拉伸线性增加的表面，我们发现只要将线载荷下的实际表面应力替换为朴素的Neumann三角形中的恒定表面应力，Neumann三角形的构造就可以正常工作。在这里，我们研究如何通过以下两种方式的组合来从幼稚的诺伊曼三角形的破坏中恢复力平衡：（a）底层散装固体的大超弹性变形，以及（b）由于表面弹性（表面变硬）而引起的表面应力增加。对于具有恒定表面应力（无表面硬化）的表面，我们表明，如果施加的力小于固体表面应力的约1.3倍，则线性化理论仍然是准确的。对于表面应力随表面拉伸线性增加的表面，我们发现只要将线载荷下的实际表面应力替换为朴素的Neumann三角形中的恒定表面应力，Neumann三角形的构造就可以正常工作。在这里，我们研究如何通过以下两种方式的组合来从幼稚的诺伊曼三角形的破坏中恢复力平衡：（a）底层散装固体的大超弹性变形，以及（b）由于表面弹性（表面变硬）而引起的表面应力增加。对于具有恒定表面应力（无表面硬化）的表面，我们表明，如果施加的力小于固体表面应力的约1.3倍，则线性化理论仍然是准确的。对于表面应力随表面拉伸线性增加的表面，我们发现只要将线载荷下的实际表面应力替换为朴素的Neumann三角形中的恒定表面应力，Neumann三角形的构造就可以正常工作。通过（a）下层散装固体的大超弹性变形和（b）由于表面弹性（表面变硬）而导致的表面应力增加而使s呈三角形。对于具有恒定表面应力（无表面硬化）的表面，我们表明，如果施加的力小于固体表面应力的约1.3倍，则线性化理论仍然是准确的。对于表面应力随表面拉伸线性增加的表面，我们发现只要将线载荷下的实际表面应力替换为朴素的Neumann三角形中的恒定表面应力，Neumann三角形的构造就可以正常工作。通过（a）下层散装固体的大超弹性变形，和（b）由于表面弹性（表面变硬）而导致的表面应力增加而形成s三角形。对于具有恒定表面应力（无表面硬化）的表面，我们表明，如果施加的力小于固体表面应力的约1.3倍，则线性化理论仍然是准确的。对于表面应力随表面拉伸线性增加的表面，我们发现只要将线载荷下的实际表面应力替换为朴素的Neumann三角形中的恒定表面应力，Neumann三角形的构造就可以正常工作。我们表明，如果施加的力小于固体表面应力的约1.3倍，则线性化理论仍然是准确的。对于表面应力随表面拉伸线性增加的表面，我们发现只要将线载荷下的实际表面应力替换为朴素的Neumann三角形中的恒定表面应力，Neumann三角形的构造就可以正常工作。我们表明，如果施加的力小于固体表面应力的约1.3倍，则线性化理论仍然是准确的。对于表面应力随表面拉伸线性增加的表面，我们发现只要将线载荷下的实际表面应力替换为朴素的Neumann三角形中的恒定表面应力，Neumann三角形的构造就可以正常工作。
更新日期：2018-02-12
中文翻译：
大变形和表面硬化对新霍克半空间上的线荷载传递的影响†
例如，由于液滴的表面张力，作用在柔软的弹性固体上的线力会导致明显的变形，并在力施加点附近形成扭结。基于线性弹性理论的分析表明，在足够接近其应用点的情况下，力完全由表面应力而不是基材的弹性承担；这三个力的局部平衡称为诺伊曼三角。但是，不难想象无法满足这种力平衡的现实特性。例如，如果线力对应于水的表面张力，则（未拉伸的）固-气和固-液表面应力的数值很容易达到其总和不足以平衡施加的力。在这种情况下，传统的（或幼稚的）诺伊曼 s的表面力三角形必须分解。在这里，我们研究如何通过以下两种方式的组合来从幼稚的诺伊曼三角形的破坏中恢复力平衡：（a）底层散装固体的大超弹性变形，以及（b）由于表面弹性（表面变硬）而引起的表面应力增加。对于具有恒定表面应力（无表面硬化）的表面，我们表明，如果施加的力小于固体表面应力的约1.3倍，则线性化理论仍然是准确的。对于表面应力随表面拉伸线性增加的表面，我们发现只要将线载荷下的实际表面应力替换为朴素的Neumann三角形中的恒定表面应力，Neumann三角形的构造就可以正常工作。在这里，我们研究如何通过以下两种方式的组合来从幼稚的诺伊曼三角形的破坏中恢复力平衡：（a）底层散装固体的大超弹性变形，以及（b）由于表面弹性（表面变硬）而引起的表面应力增加。对于具有恒定表面应力（无表面硬化）的表面，我们表明，如果施加的力小于固体表面应力的约1.3倍，则线性化理论仍然是准确的。对于表面应力随表面拉伸线性增加的表面，我们发现只要将线载荷下的实际表面应力替换为朴素的Neumann三角形中的恒定表面应力，Neumann三角形的构造就可以正常工作。在这里，我们研究如何通过以下两种方式的组合来从幼稚的诺伊曼三角形的破坏中恢复力平衡：（a）底层散装固体的大超弹性变形，以及（b）由于表面弹性（表面变硬）而引起的表面应力增加。对于具有恒定表面应力（无表面硬化）的表面，我们表明，如果施加的力小于固体表面应力的约1.3倍，则线性化理论仍然是准确的。对于表面应力随表面拉伸线性增加的表面，我们发现只要将线载荷下的实际表面应力替换为朴素的Neumann三角形中的恒定表面应力，Neumann三角形的构造就可以正常工作。通过（a）下层散装固体的大超弹性变形和（b）由于表面弹性（表面变硬）而导致的表面应力增加而使s呈三角形。对于具有恒定表面应力（无表面硬化）的表面，我们表明，如果施加的力小于固体表面应力的约1.3倍，则线性化理论仍然是准确的。对于表面应力随表面拉伸线性增加的表面，我们发现只要将线载荷下的实际表面应力替换为朴素的Neumann三角形中的恒定表面应力，Neumann三角形的构造就可以正常工作。通过（a）下层散装固体的大超弹性变形，和（b）由于表面弹性（表面变硬）而导致的表面应力增加而形成s三角形。对于具有恒定表面应力（无表面硬化）的表面，我们表明，如果施加的力小于固体表面应力的约1.3倍，则线性化理论仍然是准确的。对于表面应力随表面拉伸线性增加的表面，我们发现只要将线载荷下的实际表面应力替换为朴素的Neumann三角形中的恒定表面应力，Neumann三角形的构造就可以正常工作。我们表明，如果施加的力小于固体表面应力的约1.3倍，则线性化理论仍然是准确的。对于表面应力随表面拉伸线性增加的表面，我们发现只要将线载荷下的实际表面应力替换为朴素的Neumann三角形中的恒定表面应力，Neumann三角形的构造就可以正常工作。我们表明，如果施加的力小于固体表面应力的约1.3倍，则线性化理论仍然是准确的。对于表面应力随表面拉伸线性增加的表面，我们发现只要将线载荷下的实际表面应力替换为朴素的Neumann三角形中的恒定表面应力，Neumann三角形的构造就可以正常工作。
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