In this paper, we investigate the normalized solutions for the nonlinear critical Kirchhoff equations with combined nonlinearities: where , , and , , are constants. In , some interesting phenomena occur, which are, the -critical exponent for is , while the -critical exponent for is equal to the Sobolev critical exponent, i.e., . This paper investigates the case that the nonlinearity with triple critical term and proves the existence of a positive mountain-pass type normalized solution through variational methods and energy estimations.

中文翻译：

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[公式省略] 中具有三重临界指数的基尔霍夫方程的归一化解

在本文中，我们研究具有组合非线性的非线性临界基尔霍夫方程的归一化解：其中 、 、 、 、 、 是常数。在 中，出现了一些有趣的现象，即 的 - 临界指数为 ，而 的 - 临界指数等于 Sobolev 临界指数，即 。本文研究了具有三重临界项的非线性情况，并通过变分法和能量估计证明了正山口型归一化解的存在性。