SIAM Review, Volume 65, Issue 1, Page 183-223, February 2023.
We present a mathematical and computational framework for learning a dynamical system from noisy observations of a few trajectories and subject to side information. Side information is any knowledge we might have about the dynamical system we would like to learn, besides trajectory data, and is typically inferred from domain-specific knowledge or basic principles of a scientific discipline. We are interested in explicitly integrating side information into the learning process in order to compensate for scarcity of trajectory observations. We identify six types of side information that arise naturally in many applications and lead to convex constraints in the learning problem. First, we show that when our model for the unknown dynamical system is parameterized as a polynomial, we can impose our side information constraints computationally via semidefinite programming. We then demonstrate the added value of side information for learning the dynamics of basic models in physics and cell biology, as well as for learning and controlling the dynamics of a model in epidemiology. Finally, we study how well polynomial dynamical systems can approximate continuously differentiable ones while satisfying side information (either exactly or approximately). Our overall learning methodology combines ideas from convex optimization, real algebra, dynamical systems, and functional approximation theory, and can potentially lead to new synergies among these areas.

中文翻译：

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使用辅助信息学习动力系统

SIAM Review，第 65 卷，第 1 期，第 183-223 页，2023 年 2 月。
我们提出了一个数学和计算框架，用于从一些轨迹的嘈杂观察中学习动力系统并受边信息影响。除了轨迹数据之外，辅助信息是我们可能拥有的关于我们想要学习的动力系统的任何知识，通常是从特定领域的知识或科学学科的基本原理中推断出来的。我们有兴趣将辅助信息明确地整合到学习过程中，以弥补轨迹观察的不足。我们确定了六种类型的辅助信息，它们在许多应用程序中自然出现，并导致学习问题中的凸约束。首先，我们表明当我们的未知动力系统模型被参数化为多项式时，我们可以通过半定规划在计算上施加我们的边信息约束。然后，我们展示了辅助信息对于学习物理学和细胞生物学基本模型的动力学以及学习和控制流行病学模型动力学的附加值。最后，我们研究了多项式动力系统在满足边信息（精确或近似）的同时如何逼近连续可微分系统。我们的整体学习方法结合了凸优化、实代数、动力系统和函数逼近理论的思想，并可能在这些领域之间产生新的协同作用。以及学习和控制流行病学模型的动态。最后，我们研究了多项式动力系统在满足边信息（精确或近似）的同时如何逼近连续可微分系统。我们的整体学习方法结合了凸优化、实代数、动力系统和函数逼近理论的思想，并可能在这些领域之间产生新的协同作用。以及学习和控制流行病学模型的动态。最后，我们研究了多项式动力系统在满足边信息（精确或近似）的同时如何逼近连续可微分系统。我们的整体学习方法结合了凸优化、实代数、动力系统和函数逼近理论的思想，并可能在这些领域之间产生新的协同作用。