Abstract:We prove a microlocal lower bound on the mass of high energy eigenfunctions of the Laplacian on compact surfaces of negative curvature, and more generally on surfaces with Anosov geodesic flows. This implies controllability for the Schrödinger equation by any nonempty open set, and shows that every semiclassical measure has full support. We also prove exponential energy decay for solutions to the damped wave equation on such surfaces, for any nontrivial damping coefficient. These results extend previous works (see Semyon Dyatlov and Long Jin [Acta Math. 220 (2018), pp. 297–339] and Long Jin [Comm. Math. Phys. 373 (2020), pp. 771–794]), which considered the setting of surfaces of constant negative curvature. The proofs use the strategy of Semyon Dyatlov and Long Jin [Acta Math. 220 (2018), pp. 297–339 and Long Jin [Comm. Math. Phys. 373 (2020), pp. 771–794] and rely on the fractal uncertainty principle of Jean Bourgain and Semyon Dyatlov [Ann. of Math. (2) 187 (2018), pp. 825–867]. However, in the variable curvature case the stable/unstable foliations are not smooth, so we can no longer associate to these foliations a pseudodifferential calculus of the type used by Semyon Dyatlov and Joshua Zahl [Geom. Funct. Anal. 26 (2016), pp. 1011–1094]. Instead, our argument uses Egorov’s theorem up to local Ehrenfest time and the hyperbolic parametrix of Stéphane Nonnenmacher and Maciej Zworski [Acta Math. 203 (2009), pp. 149–233], together with the $C^{1+}$ regularity of the stable/unstable foliations.

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中文翻译：

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可变曲率表面特征函数的控制

摘要：我们证明了拉普拉斯算子的高能本征函数质量在负曲率的致密表面上的微局部下界，更一般地，在具有阿诺索夫测地线流动的表面上。这意味着任何非空开集对薛定谔方程的可控性，并表明每个半经典测度都有完全支持。对于任何非平凡阻尼系数，我们还证明了此类表面上阻尼波动方程解的指数能量衰减。这些结果扩展了以前的工作（参见 Semyon Dyatlov 和 Long Jin [Acta Math. 220 (2018), pp. 297–339] 和 Long Jin [Comm. Math. Phys. 373 (2020), pp. 771–794]），其中考虑了恒定负曲率表面的设置。证明使用了 Semyon Dyatlov 和 Long Jin [Acta Math. 220 (2018), pp. 297–339 和 Long Jin [Comm. 数学。物理。373 (2020), pp. 771–794] 并依靠 Jean Bourgain 和 Semyon Dyatlov [Ann. 数学。(2) 187 (2018)，第 825-867 页]。然而，在可变曲率的情况下，稳定/不稳定的叶面不是光滑的，所以我们不能再将这些叶面与 Semyon Dyatlov 和 Joshua Zahl [Geom. 功能。肛门。26 (2016)，第 1011-1094 页]。相反，我们的论证使用 Egorov 定理直到局部 Ehrenfest 时间和 Stéphane Nonnenmacher 和 Maciej Zworski 的双曲参数 [Acta Math. 203 (2009), pp. 149–233]，以及稳定/不稳定叶的 $C^{1+}$ 规律性。在可变曲率的情况下，稳定/不稳定的叶面不是光滑的，所以我们不能再将这些叶面与 Semyon Dyatlov 和 Joshua Zahl [Geom. 功能。肛门。26 (2016)，第 1011-1094 页]。相反，我们的论证使用 Egorov 定理直到局部 Ehrenfest 时间和 Stéphane Nonnenmacher 和 Maciej Zworski 的双曲参数 [Acta Math. 203 (2009), pp. 149–233]，以及稳定/不稳定叶的 $C^{1+}$ 规律性。在可变曲率的情况下，稳定/不稳定的叶面不是光滑的，所以我们不能再将这些叶面与 Semyon Dyatlov 和 Joshua Zahl [Geom. 功能。肛门。26 (2016)，第 1011-1094 页]。相反，我们的论证使用 Egorov 定理直到局部 Ehrenfest 时间和 Stéphane Nonnenmacher 和 Maciej Zworski 的双曲参数 [Acta Math. 203 (2009), pp. 149–233]，以及稳定/不稳定叶的 $C^{1+}$ 规律性。我们的论证使用 Egorov 定理直到局部 Ehrenfest 时间和 Stéphane Nonnenmacher 和 Maciej Zworski 的双曲参数 [Acta Math. 203 (2009), pp. 149–233]，以及稳定/不稳定叶的 $C^{1+}$ 规律性。我们的论证使用 Egorov 定理直到局部 Ehrenfest 时间和 Stéphane Nonnenmacher 和 Maciej Zworski 的双曲参数 [Acta Math. 203 (2009), pp. 149–233]，以及稳定/不稳定叶的 $C^{1+}$ 规律性。

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